[論文レビュー] Approximate controllability for a 2D Grushin equation with potential having an internal singularity

Morgan Morancey|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2013

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 20被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、$x=0$ における内部逆二乗特異性と退化を有する2次元グルシーン方程式について、特異作用素の伝達条件を用いた自己随伴拡張の構成と、フーリエ分解およびカルレマン推定を用いた一意継続性の証明により、近似的可制御性を確立する。主な結果は、すべての $c \in (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ に対して近似的可制御性が成り立つことであり、特異グリューシン設定におけるハーディー不等式の有効範囲と本質的自己随伴性の境界の間のギャップを埋める。

ABSTRACT

This paper is dedicated to approximate controllability for Grushin equation on the rectangle $(x,y) \\in (-1,1) \ imes (0,1)$ with an inverse square potential. This model corresponds to the heat equation for the Laplace-Beltrami operator associated to the Grushin metric on $\\mathbb{R}^2$, studied by Boscain and Laurent. The operator is both degenerate and singular on the line $\\{ x=0 \\}$. The approximate controllability is studied through unique continuation of the adjoint system. For the range of singularity under study, approximate controllability is proved to hold whatever the degeneracy is. Due to the internal inverse square singularity, a key point in this work is the study of well-posedness. An extension of the singular operator is designed imposing suitable transmission conditions through the singularity. Then, unique continuation relies on the Fourier decomposition of the 2D solution in one variable and Carleman estimates for the 1D heat equation solved by the Fourier components. The Carleman estimate uses a suitable Hardy inequality.

研究の動機と目的

• 内部逆二乗特異性と $x=0$ における退化を有する2次元グリューシン方程式の近似的可制御性を確立すること。
• 特異作用素の適切な自己随伴拡張を伝達条件を用いて構成することで、方程式の適切な定式化を達成すること。
• フーリエ分解と1次元カルレマン推定を用いて、随伴系の特異性に関する一意継続性を証明すること。
• すべての $c \in (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ に対して近似的可制御性が成り立つことを示すこと。$c = -\frac{1}{4}$ の臨界ハーディー状況を除く。

提案手法

• $y$ 変数におけるフーリエ分解により、問題が境界に逆二乗特異性を有する1次元随伴系に還元される。
• 特異作用素の自己随伴拡張は、$x=0$ における特定の伝達条件を課すことによって構成され、連続半群の生成が保証される。
• 特異ポテンシャルを有する1次元熱方程式に対するカルレマン推定が導出され、特異項 $\frac{z^2}{x^2}$ の制御にハーディー型不等式が用いられる。
• カルレマン推定における重み関数は、凹かつ増加関数として選ばれ、特異微分項と境界項を支配する。この際、$z_x(t,0) = 0$ の条件が活用される。
• カルレマン推定の証明には部分積分とエネルギー推定が用いられ、強制性を保証するための主要項が $R^3$ となる。
• 1次元系における一意継続性は、双対性を介して2次元系の近似的可制御性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部逆二乗特異性と $x=0$ における退化を有する2次元グリューシン方程式に対して、近似的可制御性は成立するか？
• RQ2 特異作用素をどのように拡張すれば、適切な定式化と可制御性が保証されるか？
• RQ3 ポテンシャルが特異的かつ作用素が退化する場合に、随伴系に対して一意継続性を確立できるか？
• RQ4 近似的可制御性が保たれる特異係数 $c$ の範囲は何か？また、ハーディー不等式と自己随伴拡張との関係は？
• RQ5 特異ポテンシャルと退化を同時に扱えるカルレマン推定を構築できるか？特に、特異部が部分積分で扱えない場合にどうか。

主な発見

• すべての $c \in (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ に対して近似的可制御性が成り立つ。作用素が本質的自己随伴でない場合でも、性質が保たれることを示した。
• 特異グリューシン作用素の伝達条件による自己随伴拡張を用いることで、方程式の適切な定式化が確立された。
• フーリエ分解と特異ポテンシャルを有する1次元問題に対する新規カルレマン推定を用いて、随伴系の特異性に関する一意継続性が証明された。
• 特異微分項と境界項を支配できるように、凹かつ増加関数として慎重に選ばれた重み関数を用いたカルレマン推定が構築された。
• 推定はハーディー不等式に依存しており、$z_x(t,0) = 0$ の追加条件のおかげで成立する。この条件は特異項 $\frac{z^2}{x^4}$ の取り扱いに不可欠である。
• ハーディー不等式が成り立つ範囲（$c \geq -\frac{1}{4}$）と作用素が本質的自己随伴となる範囲（$c \geq \frac{3}{4}$）の間のギャップを埋め、中間領域でも可制御性が維持されることを示した。