[論文レビュー] Approximate controllability for linear degenerate parabolic problems with bilinear control

Piermarco Cannarsa, Giuseppe Floridia|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、時間に依存しない係数としての双線形制御を有する線形退化放物型PDEについて、全空間で近似的に乗法的可制御性を確立する。目的の状態に基づく静的制御を構築し、退化作用素の固有値性質を活用することで、任意の非負の初期状態が、$ L^2(-1,1) $ 内で有限時間内に任意の非負の目標状態に任意に近づけられることを証明する。これは、可積分性条件のもとで境界で拡散係数が消える場合にも成立する。

ABSTRACT

In this work we study the global approximate multiplicative controllability for the linear degenerate parabolic Cauchy-Neumann problem $$ \{{array}{l} \displaystyle{v_t-(a(x) v_x)_x =α(t,x)v\,\,\qquad {in} \qquad Q_T \,=\,(0,T) imes(-1,1)} [2.5ex] \displaystyle{a(x)v_x(t,x)|_{x=\pm 1} = 0\,\,\qquad\qquad\qquad\,\, t\in (0,T)} [2.5ex] \displaystyle{v(0,x)=v_0 (x) \,\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\,\, x\in (-1,1)}, {array}. $$ with the bilinear control $α(t,x)\in L^\infty (Q_T).$ The problem is strongly degenerate in the sense that $a\in C^1([-1,1]),$ positive on $(-1,1),$ is allowed to vanish at $\pm 1$ provided that a certain integrability condition is fulfilled. We will show that the above system can be steered in $L^2(Ω)$ from any nonzero, nonnegative initial state into any neighborhood of any desirable nonnegative target-state by bilinear static controls. Moreover, we extend the above result relaxing the sign constraint on $v_0$.

研究の動機と目的

• 気候モデルの文脈において、双線形制御を伴う線形退化放物型方程式の近似的可制御性を調査すること。
• Budyko-Sellersモデルに見られるように、拡散係数が境界で消える系への可制御性結果を拡張すること。
• 強い退化性が存在する中でも、静的双線形制御を用いて、全非負近似的可制御性を確立すること。
• 初期状態の符号制約を緩和しつつ、退化の可積分性条件のもとで可制御性を維持すること。

提案手法

• 問題を、$ v_t - (a(x)v_x)_x = \alpha(t,x)v $ の形の退化放物型Cauchy-Neumann系として定式化する。ここで $ a(x) \in C^1([-1,1]) $、$ a(\pm1) = 0 $、かつ $ \int_0^x \frac{ds}{a(s)} \in L^1(-1,1) $ を満たす。
• 双線形制御 $ \alpha(t,x) \in L^\infty(Q_T) $ を定義し、解析を簡略化するために静的制御 $ \alpha(x) $ を考察する。
• 目標状態に依存する制御 $ \alpha_*(x) = -\frac{(a(x)v_{dx})_x}{v_d(x)} $ を構築し、$ v_d $ が関連する楕円型作用素のゼロ固有値固有関数となるようにする。
• 作用素 $ -\mathcal{L} = -(a(x)\partial_x)_x + \alpha(x) $ のスペクトル分解を用い、$ v_d / \|v_d\| $ が第一固有関数で固有値がゼロであることを示す。
• 高次モードの指数的減衰を用いて時間発展を扱い、$ \alpha(x) = \alpha_*(x) + \beta $ の定数項 $ \beta $ を調整することで、第一モードを目標状態に一致させる。
• パーサバルの等式と指数的減衰推定を用いて、時間 $ T_\varepsilon $ における解と目標状態の $ L^2 $-距離を評価し、$ \|v(T_\varepsilon, \cdot) - v_d\| \leq \varepsilon $ を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存しない係数を有する双線形制御を伴う線形退化放物型PDEは、任意の非ゼロで非負の初期状態から、$ L^2(-1,1) $ 内で任意の希望する非負の目標状態に近似的に制御可能か？
• RQ2 拡散係数 $ a(x) $ の退化性にどのような条件が課されると、$ a(\pm1) = 0 $ であっても可制御性が保証されるか？
• RQ3 初期状態が正ではなく、非負かつ非ゼロである場合でも、近似的可制御性は達成可能か？
• RQ4 静的関数（時間に依存しない）として制御を選べるか、それが全近似的可制御性を達成できるか？
• RQ5 退化作用素のスペクトル構造は、可制御性メカニズムにどのように影響するか？

主な発見

• 任意の非ゼロで非負の初期状態から任意の非負の目標状態への、$ L^2(-1,1) $ 内での全近似的可制御性が、静的双線形制御 $ \alpha(x) \in L^\infty(-1,1) $ を用いて成立する。
• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、有限時間 $ T_\varepsilon > 0 $ が存在し、解が $ \|v(T_\varepsilon, \cdot) - v_d\| \leq \varepsilon $ を満たす。$ T_\varepsilon $ は $ e^{-\lambda_2 T_\varepsilon} = \varepsilon \frac{\int v_0 v_d dx}{\|v_0\| \|v_d\|^2} $ により明示的に定義される。
• 第一固有関数 $ \omega_1 = v_d / \|v_d\| $ は $ (-1,1) $ 内で正であるため、支配的モードの正の性質が保証される。
• 制御パrameter $ \beta_\varepsilon $ は $ e^{\beta_\varepsilon T_\varepsilon} \int v_0 \omega_1 dx = \|v_d\| $ を満たすように選ばれ、第一モードと目標状態の一致が保証される。
• 高次モードは $ -\lambda_k < 0 $（$ k \geq 2 $）により指数的に減衰し、その寄与は $ e^{2(-\lambda_2 + \beta_\varepsilon)t} \|v_0\|^2 $ で抑えられ、任意に小さくできる。
• 初期状態 $ v_0 $ が正でなくても、$ \int v_0 v_d dx > 0 $ が成り立てば、定理1の仮定のもとでこの条件は保証されるため、結果は成立する。