[論文レビュー] Approximate controllability results for fractional semilinear integro-differential inclusions in Hilbert spaces

Nazım I. Mahmudov, V. Vijayakumar+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2015

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 54被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ボーデンブリュースト＝カルラインの不動点定理を用いて、ヒルバート空間における分数階線形でない積分包含方程式の近似可制御性の十分条件を確立している。非局所条件を含む系へ結果を拡張し、制御作用素とセクター型作用素を含むスペクトル減衰条件の下で近似可制御性を証明している。

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of fractional integro-differential inclusions in Hilbert spaces. This paper deals with the approximate controllability for a class of fractional integro-differential control systems. First, we establishes a set of sufficient conditions for the approximate controllability for a class of fractional semilinear integro-differential inclusions in Hilbert spaces. We use Bohnenblust-Karlin's fixed point theorem to prove our main results. Further, we extend the result to study the approximate controllability concept with nonlocal conditions. An example is also given to illustrate our main results.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間における分数階線形でない積分包含方程式の近似可制御性の十分条件を確立すること。
• 可制御性解析を非局所初期条件を有する系へ拡張すること。
• 分数階微分包含でモデル化される複雑なシステムの制御のための理論的枠組みを提供すること。
• ヒルバート空間設定下での具体的な例を通じて、結果の適用可能性を示すこと。

提案手法

• 多価写像に対するボーデンブリュースト＝カルラインの不動点定理を用いて、弱解の存在を証明する。
• セクター型作用素を用いて、分数階進化方程式の解作用素を生成する。
• 制御系を、$\alpha - 1$ 階のリーマン＝リウヴィル積分で表す。ここで $1 < \alpha < 2$ である。
• 解作用素 $\mathcal{S}_\alpha(t)$、制御作用素 $B$、多価非線形項 $F$ を含む積分方程式によって、弱解を定義する。
• $L^2(I,U)$ 内の制御関数 $u(t)$ を導入し、系を所望の状態へ誘導する。
• 近似可制御性を達成するために、フィードバック制御則 $v(t) = B^* \mathcal{S}^*_\alpha(b-t) R(a, \Upsilon_0^b) p(x(\cdot))$ を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間における分数階線形でない積分包含方程式が、どのような条件下で近似可制御となるか？
• RQ2 非局所初期条件の導入が、このような系の可制御性に与える影響は何か？
• RQ3 ボーデンブリュースト＝カルラインの不動点定理は、多価分数階系の可制御性を証明するために効果的に適用可能か？
• RQ4 セクター型作用素 $A$ は、解の存在性と正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 与えられたスペクトル条件の下で、制御作用素 $B$ はどのように設計すれば、近似可制御性を保証できるか？

主な発見

• 系は $I = [0,b]$ で近似可制御である。条件は $M\gamma\left[1 + \frac{1}{\alpha}M^2M_B^2b\right] < 1$ であり、ここで $M_B = \|B\|$ である。
• ボーデンブリュースト＝カルライン不動点定理の仮定のもとで、弱解の存在が保証される。
• 非局所条件は、古典的初期条件と比較して、物理的モデル化の精度を向上させる。
• $L^2([0,\pi])$ 内の例は、方程式 (8)–(10) が定理 3.3 のすべての仮定を満たしており、したがって近似可制御であることを示している。
• 固定点作用素 $\widehat{\Gamma}_a$ を構築し、その収縮的性質を検証することで、非局所系への証明技法を拡張できる。
• 分数階微分包含に関する先行研究を一般化し、分数階積分と多価非線形項の両方を組み込んだ。