[論文レビュー] Approximate controllabilty from the exterior of space-time fractional diffusion equations with the fractional Laplacian

Mahamadi Warma|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有界領域における分数ラプラシアンを伴う空間時間分数拡散方程式について、領域外部に局在する制御を用いて近似的可制御性を確立する。主な結果は、すべての $ T > 0 $、$ u_0 \in L^2(\Omega) $、および $ g \in \text{Test}((0,T) \times \mathcal{O}) $ に対して、システムが近似的に可制御であるということである。ここで $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^N \setminus \Omega $ である。一方、$ 0 < \alpha < 1 $ の場合、ゼロ可制御性は不可能である。

ABSTRACT

Let $\Om\subset\RR^N$ a bounded domain with a Lipschitz continuous boundary. We study the controllability of the space-time fractional diffusion equation \begin{equation*} \begin{cases} \mathbb D_t^\alpha u+(-\Delta)^su=0\;\;&\mbox{ in }\;(0,T) imes\Omega u=g &\mbox{ in }\;(0,T) imes(\RR^N\setminus\Omega) u(0,\cdot)=u_0&\mbox{ in }\;\Omega, \end{cases} \end{equation*} where $u=u(t,x)$ is the state to be controlled and $g=g(t,x)$ is the control function which is localized in a subset $\mathcal O$ of $\Omc$. Here, $0 0$ be real numbers. After giving an explicit representation of solutions, we show that the system is always approximately controllable for every $T>0$, $u_0\in L^2(\Omega)$ and $g\in \mathcal D((0,T) imes\mathcal O)$ where $\mathcal O\subset(\RR^N\setminus\bOm)$ is any open set. The results obtained are sharp in the sense that such a system is never null controllable if $0<\alpha<1$. The proof of our result is based on a new unique continuation principle for the eigenvalues problem associated with the fractional Laplace operator subject to the zero exterior boundary condition that we have established.

研究の動機と目的

• 有界領域内に存在する分数ラプラシアンを含む空間時間分数拡散方程式の可制御性特性を、外部に局在する制御を用いて調査すること。
• 制御が領域の補集合の部分集合に局在する場合、その外部からシステムを近似的に制御可能かどうかを特定すること。
• 近似的可制御性が成立する鋭い条件を確立し、$ 0 < \alpha < 1 $ の場合にゼロ可制御性が不可能であることを示すこと。
• ゼロ外部境界条件を満たす分数ラプラシアンの固有値問題に対する、新たな一意的拡張原理を構築し、これが主結果の根拠となること。

提案手法

• 分数ラプラシアンとキャプト時間微分を用いた空間時間分数拡散方程式の解の明示的表現を導出する。
• ゼロ外部条件を満たす分数ラプラシアンの固有値問題に対する、新規の一意的拡張原理を適用し、観測性推定を確立する。
• 制御問題と随伴系との双対性を用いて、近似的可制御性を観測性不等式に還元する。
• 制御関数 $ g $ が $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^N \setminus \Omega $ に局在する場合、初期状態 $ u_0 \in L^2(\Omega) $ に任意に近づけることができることを示す。
• 関数解析的技法および分数ソボレフ空間の性質を用いて、解の適切な定義および正則性を分析する。
• $ 0 < \alpha < 1 $ の場合、観測性不等式が成立しないため、システムは常にゼロ可制御不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御が領域外部に局在する場合、分数ラプラシアンを伴う空間時間分数拡散方程式は近似的に可制御可能か？
• RQ2 この分数拡散設定において、近似的可制御性の必要十分条件は何か？
• RQ3 なぜ $ 0 < \alpha < 1 $ の場合、ゼロ可制御性が不可能なのか？これは分数微分作用素の構造とどのように関係するか？
• RQ4 ゼロ外部条件を満たす分数ラプラシアンに対する一意的拡張性が、可制御性解析に果たす役割は何か？
• RQ5 制御支持 $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^N \setminus \Omega $ の選択が、可制御性の達成に果たす役割は何か？

主な発見

• すべての $ T > 0 $、$ u_0 \in L^2(\Omega) $、および $ g \in \mathcal{D}((0,T) \times \mathcal{O}) $ に対して、$ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^N \setminus \Omega $ が任意の開集合である限り、システムは近似的に可制御である。
• 近似的可制御性は、$ \mathcal{O} $ の具体的な位置に依存せず、開集合かつ $ \Omega $ の外部に含まれる限り成立する。
• $ 0 < \alpha < 1 $ の場合、ゼロ可制御性は不可能であり、これは分数時間微分による根本的な障害を示している。
• 証明は、ゼロ外部条件を満たす分数ラプラシアンの固有値問題に対する、新たな一意的拡張原理に依拠している。
• 同じ条件下で、より強い可制御性（例えばゼロ可制御性）が達成できないことから、結果は鋭い。
• 非局所性を有する分数ラプラシアンとキャプト微分の記憶効果のため、システムの挙動は古典的放物型方程式とは根本的に異なる。