[論文レビュー] Approximate Correctors and Convergence Rates in Almost-Periodic Homogenization

Zhongwei Shen, Jinping Zhuge|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、H. ワイルの意味におけるほぼ周期的係数を有する2階楕円系に対して、$H^1$および$L^2$における最適またはほぼ最適な収束速度を確立する。これは、関数$\rho_k(L,R)$によるほぼ周期性の新しい定量的評価を用いて実現され、近似正規化子の一様$L^2$推定を導出し、十分な条件下で真の正規化子の存在を証明する。これにより、明示的な対数的収束速度を伴う大スケールのホルダーおよびリプシッツ推定が得られる。

ABSTRACT

We carry out a comprehensive study of quantitative homogenization of second-order elliptic systems with bounded measurable coefficients that are almost-periodic in the sense of H. Weyl. We obtain uniform local $L^2$ estimates for the approximate correctors in terms of a function that quantifies the almost-periodicity of the coefficient matrix. We give a condition that implies the existence of (true) correctors. These estimates as well as similar estimates for the dual approximate correctors yield optimal or near optimal convergence rates in $H^1$ and $L^2$.The $L^2$-based Hölder and Lipschitz estimates at large scale are also established.

研究の動機と目的

• 有界可測で、ワイルの意味におけるほぼ周期的係数を有する2階楕円系に対して、$H^1$および$L^2$における定量的収束速度を確立すること。
• 係数行列$A$のほぼ周期性の度合いを定量化する新しい関数$\rho_k(L,R)$を導入し、正規化子推定の誤差を精密に制御すること。
• 平滑性仮定なしに、より広い係数クラスへ拡張するため、$\rho_k$を用いた近似正規化子$\chi_T$の$L^2$ノルムに関する一様$L^2$バインディングを導出すること。
• 正規化子の存在を$\rho_k$を含む十分条件のもとで証明し、係数$A$に最小限の滑らかさ仮定を置いた場合の解のための大スケールのホルダーおよびリプシッツ正則性を確立すること。

提案手法

• 拡大された球上での$A$平均の差の上界として定義される、$\rho_k(L,R)$を用いたほぼ周期性の新しい定量的評価を導入し、高次の振動を捉える。
• 近似正規化子$\chi_T$を、$-\operatorname{div}(A\nabla\chi_T) + T^{-2}\chi_T = \operatorname{div}(A\nabla P)$（$P$は線形）として定義し、均質化極限を近似する。
• コンパクトネスの議論と定量的エルゴード的推定を用いて、$\nabla\chi_T$および$\chi_T$の$\rho_k$に関する一様$L^2$推定を確立する。
• 修正されたカムパナト型反復とモジュラス連続性$\eta(t)$のディニ型条件を用いて、解の大スケールホルダーおよびリプシッツ推定を導出する。
• 双対性の議論を用いて、随伴正規化子への推定を拡張し、$\nabla\chi_T$が真の正規化子$\psi$に$B^2$ノルムで収束するのを制御する。
• $\rho_k(L,L)$の減衰率を活用し、明示的な対数的収束速度を導出する。たとえば、$\alpha > 3$に対して$\|\nabla\chi_T - \psi\|_{B^2} \leq C(\log T)^{1-\alpha}$が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイルの意味におけるほぼ周期的係数を有する楕円系の解について、$H^1$および$L^2$における最適収束速度は何か？
• RQ2 均質化における誤差を制御できるように、係数行列のほぼ周期性をどのように定量化できるか？
• RQ3 有界可測でほぼ周期的係数を有する系に対して、真の正規化子が存在する十分条件は何か？
• RQ4 係数$A$に最小限の滑らかさ仮定を置いた場合、解に対して大スケールの正則性特性（ホルダーおよびリプシッツ）をどのように確立できるか？
• RQ5 係数行列のほぼ周期性関数$\rho_k$が対数的減衰条件を満たす場合、収束速度を改善または定量化できるか？

主な発見

• 本稿は、$APW^2(\mathbb{R}^d)$に属する係数を有する楕円系の解について、近似正規化子$\chi_T$の一様$L^2$推定を用いて、最適な$H^1$および$L^2$収束速度を確立する。
• $A$のほぼ周期性を定量化する新しい関数$\rho_k(L,R)$を導入し、$\nabla\chi_T$の推定が$\rho_k$に明示的に依存することを示し、滑らかさの仮定がなくても制御可能であることを示す。
• 正規化子の存在は、$\rho_k$を含む十分条件のもとで証明され、従来の結果を有界可測でほぼ周期的係数のより広いクラスへ拡張する。
• 大スケール$L^2$に基づくホルダーおよびリプシッツ推定が確立され、ホルダー半ノルムは$\|\nabla u_\varepsilon\|_{L^2}$と強制項ノルムによって制御される。
• $\rho_k(L,L) \leq C(\log L)^{-\alpha}$（$\alpha > 3$）を満たす係数に対して、収束速度は$\|\nabla\chi_T - \psi\|_{B^2} \leq C(\log T)^{1-\alpha}$であり、これはほぼ最適である。
• 同じ減衰条件のもとで、$L^2$における収束速度は$\|u_\varepsilon - u_0\|_{L^2} \leq C\varepsilon \cdot (\log \varepsilon^{-1})^{1-\alpha}$として示され、従来の結果を改善する。