[論文レビュー] Approximate diagonalization of self--adjoint matrices over $C(M)$

Yifeng Xue|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コンpact Hausdorff空間 $M$ 上の連続複素関数の代数 $C(M)$ 上の自己随伴行列が、近似的に対角化可能であるための必要十分条件が、$\dim M \leq 2$ かつ $\mathrm{H}^2(M,\mathbb{Z}) \cong 0$ であることを確立している。さらに、$C(M)$ 上のユニタリ行列が近似的に対角化可能であるための必要十分条件が、$\dim M \leq 2$ かつ $\mathrm{H}^1(M,\mathbb{Z}) \cong 0$ および $\mathrm{H}^2(M,\mathbb{Z}) \cong 0$ であることを示しており、安定的階数理論とCechコホモロジーによるベクトル bundle の分類を用いている。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact Hausdorff space. We prove that in this paper, every self--adjoint matrix over $C(M)$ is approximately diagonalizable iff $\dim M\le 2$ and $\HO^2(M,\mathbb Z)\cong 0$. Using this result, we show that every unitary matrix over $C(M)$ is approximately diagonalizable iff $\dim M\le 2$, $\HO^1(M,\mathbb Z)\cong\HO^2(M,\mathbb Z)\cong 0$ when $M$ is a compact metric space.

研究の動機と目的

• コンパクトHausdorff空間 $M$ に対して、$M_n(C(M))$ 内のすべての自己随伴行列が近似的に対角化可能であるための必要十分な位相的条件を同定すること。
• 自己随伴行列の特徴付けをユニタリ行列へ拡張し、それらがいつ近似的に対角化可能かを特定すること。
• $\dim M \leq 2$ のとき、ChoiおよびElliottの自己随伴行列の近似的な対角化に関する結果を構成的証明すること。
• 近似的な対角化の性質が安定的階数不変量およびCechコホモロジー群 $\mathrm{H}^1(M,\mathbb{Z})$ と $\mathrm{H}^2(M,\mathbb{Z})$ とどのように関連するかを確立すること。
• $\mathrm{H}^2(M,\mathbb{Z})$ の消滅が、$\dim M \leq 2$ であっても、自己随伴行列の近似的な対角化にとって本質的であることを示すこと。

提案手法

• $C(M)$ の位相的安定的階数および一般安定的階数を用いて、$C(M)$ 上の行列代数の構造を分析し、特に $\mathrm{tsr}(C(M))$ と $\mathrm{gsr}(C(M))$ を考察する。
• 補題 2.2 を適用して、自己随伴行列を小さな非対角成分をもつ三重対角形に還元するユニタリ変換を構成する。
• $\mathrm{H}^2(M,\mathbb{Z}) \cong 0$ の仮定を用いて、固有値固有ベクトルを $M$ 上で連続的に選べることを保証し、ユニタリ共役によって対角形にできるようにする。
• $\dim M \leq 2$ のとき $\mathrm{csr}(C(M)) \leq 2$ であるという事実を用いて、ユニタリ群が球面 $S_n(C(M))$ 上に推移的に作用することを保証し、これはユニタリ近似にとって重要である。
• Arens-Roydenの定理を適用して $U(C(M))/U_0(C(M))$ を $\mathrm{H}^1(M,\mathbb{Z})$ と関連づけ、$\mathrm{H}^1(M,\mathbb{Z}) \cong 0$ がユニタリ近似的な対角化に必要であることを示す。
• $A = \frac{1}{2}\|A\|(V + V^*)$ という恒等式（$A$ が自己随伴のとき、$V = \exp(iA/\|A\|)$）を用いて、$A$ の対角化問題をユニタリ $V$ の対角化問題に還元し、二つの問題を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトHausdorff空間 $M$ に対して、$M_n(C(M))$ 内のすべての自己随伴行列が近似的に対角化可能であるための必要十分な位相的条件は何か？
• RQ2 $\mathrm{H}^2(M,\mathbb{Z})$ の消滅が、$C(M)$ 上の自己随伴行列の近似的な対角化の可能性にどのように関係するか？
• RQ3 $M$ に対してどのような条件下で、$U_n(C(M))$ 内のすべてのユニタリ行列が近似的に対角化可能か？
• RQ4 なぜ $\mathrm{H}^1(M,\mathbb{Z}) \cong 0$ が、$C(M)$ 上のユニタリ行列の近似的な対角化に必要不可欠なのか？
• RQ5 $C(M)$ の安定的階数不変量、たとえば $\mathrm{tsr}(C(M))$ と $\mathrm{gsr}(C(M))$ は、行列代数の構造をどのように制約し、近似的な対角化を可能にするか？

主な発見

• 自己随伴行列が $C(M)$ 上で近似的に対角化可能であるための必要十分条件は、$\dim M \leq 2$ かつ $\mathrm{H}^2(M,\mathbb{Z}) \cong 0$ である。
• ユニタリ行列が $C(M)$ 上で近似的に対角化可能であるための必要十分条件は、$\dim M \leq 2$ かつ $\mathrm{H}^1(M,\mathbb{Z}) \cong 0$ および $\mathrm{H}^2(M,\mathbb{Z}) \cong 0$ である。
• 自己随伴行列の証明では、非対角成分のノルムが $7\epsilon$ 未塔の三重対角形に行列を還元するユニタリ変換を構成し、その結果として $14\epsilon$ 以内の対角近似が得られる。
• $\mathrm{H}^2(M,\mathbb{Z})$ の消滅により、固有ベクトルがベクトル bundle の連続的セクションとして選べるようになり、これにより大域的なユニタリ共役による対角形への変換が可能になる。
• $\mathrm{H}^1(M,\mathbb{Z}) \cong 0$ がユニタリ近似的な対角化に必要であることは、反例としてのユニタリ行列 $\begin{bmatrix}0&1\\f&0\end{bmatrix}$ を構成することで示され、その近似的な対角化が $[f] = 0$ であることを意味し、$U(C(M))/U_0(C(M)) \cong \mathrm{H}^1(M,\mathbb{Z})$ に帰着する。
• 本結果は、ChoiおよびElliottの $\dim M \leq 2$ のときの自己随伴行列の近似的な対角化に関する結果を一般化し、その構成的証明を提供する。