[論文レビュー] Approximate equivalence of actions

Andreas Næs Aaserud, Sorin Popa|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率空間上の群作用における弱い、近似的な、および超積に基づく共軛および軌道同値の概念を導入し、研究する。強エルゴディシティおよび特定のコhomological条項が、これらの同値関係に関して不変であることを確立する。非可換群で性質 (T) を持たない群に対しては、連続的に多くの非弱軌道同値な作用が存在することを示し、また、軌道同値超剛性（OE-superrigidity）は近似的な軌道同値超剛性（approximate OE-superrigidity）を含むことが示され、剛性結果がより弱い同値関係へと拡張される。

ABSTRACT

We consider several weaker versions of the notion of conjugacy and orbit equivalence of measure preserving actions of countable groups on probability spaces, involving equivalence of the ultrapower actions and asymptotic intertwining conditions. We compare them with the other existing equivalence relations between group actions, and study the usual type of rigidity questions around these new concepts (superrigidity, calculation of invariants, etc).

研究の動機と目的

• 群作用における弱い、近似的な、および超積に基づく共軛および軌道同値の概念を発展させ、分析すること。
• これらの弱い同値関係に関して、保存される動的およびコhomological不変量は何かを調査すること。
• 強エルゴディック作用に関して、OE超剛性が近似的なOE超剛性を含むことを確立すること。
• 無限大可換商を持つ群に対して、共軛でないが近似的に共軛となる作用が多数存在するかを特定すること。
• 共軛、近似的共軛、ω共軛、および弱共軛の各レベルの関係を明確にすること。

提案手法

• 自由な超フィルター ω 沿いの超積を用いて、ω共軛および ω軌道同値を定義し、古典的共軛および軌道同値を一般化する。
• 近似的共軛（app-conjugacy）を、確率空間間の同型の列が群作用を漸近的に入れ替えることとして定義する。
• 超積フレームワークを用いて、交叉積 von Neumann 代数における 1-コサイクルおよび 2-コバウンダリーの構造を関連づけ、特に境界写像 ∂: U(A)^Γ → B²(σ) を通して分析する。
• Z¹(σ)^ω = Z¹(σ^ω)、B²(σ) が Z²(σ) 内で閉じていること、および ∂ が開写像であることの3条件の同値性を、位相的および関数解析的議論により確立する。
• ポリッシュ群の構造および強作用位相を用いて、境界写像の収束性および開性を分析する。
• 特に強エルゴディック作用および性質 (T) を持つ群の文脈において、コhomology理論および von Neumann 代数理論の結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コスト、L²-Betti 数、コリジディティ、相対 Haagerup 性質は、弱軌道同値（weak-OE）に関して不変か？
• RQ2 無限大可換商を持つ群に対して、共軛でないが近似的に共軛となる作用が連続的に存在するか？
• RQ3 性質 (T) を持つ群に対して、app-共軛は共軛と同値か？また、非-(T) 群に対して、共軛でないが app-共軛となる作用は存在するか？
• RQ4 性質 (T) を持つ群に対して、ω共軛は共軛よりも厳密に弱いか、それとも一致するか？
• RQ5 強エルゴディック作用に関して、OE超剛性は近似的なOE超剛性を含むか？

主な発見

• コストおよび L²-Betti 数は弱-OE 不変量であり、コリジディティおよび相対 Haagerup 性質も同様である。
• 任意の非可換群 Γ で性質 (T) を持たないものに対しては、少なくとも2つの非弱軌道同値な自由エルゴディック pmp 行動が存在し、したがって無限に多くの非弱軌道同値な作用が存在する。
• 群 Γ が無限大可換商を持つならば、すべてが近似的に共軛となるが、共軛でない連続的な多くの作用が存在する。
• 性質 (T) を持つ群に対しては、app-共軛と共軛が一致するため、この場合に強く剛性が成立する。
• OE超剛性は、強エルゴディック作用に関して、近似的なOE超剛性および ω-OE超剛性の両方を含む。
• Z¹(σ)^ω = Z¹(σ^ω)、B²(σ) が Z²(σ) 内で閉じていること、および境界写像 ∂ が開であることの同値性は、位相的およびコhomologicalな議論により確立された。