[論文レビュー] Approximate Factor Models with Weaker Loadings

Jushan Bai, Serena Ng|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2021

Economic theories and models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、負荷係数が弱い場合、すなわち負荷係数が $N^{-\alpha}$ とスケーリングされる場合に、近似因子モデルにおける主成分推定量の一貫性および漸近正規性を確立する。ここで $\alpha \in (0,1]$ である。推定量の一致性は負荷係数が弱くても保たれ、$\alpha$ が小さくなるに従い収束速度が遅くなる。本稿は、非一様な負荷係数を扱う包括的なフレームワークを提供し、強力因子分析に適用可能な簡略化された証明を提示する。

ABSTRACT

Pervasive cross-section dependence is increasingly recognized as a characteristic of economic data and the approximate factor model provides a useful framework for analysis. Assuming a strong factor structure where $\Lop\Lo/N^α$ is positive definite in the limit when $α=1$, early work established convergence of the principal component estimates of the factors and loadings up to a rotation matrix. This paper shows that the estimates are still consistent and asymptotically normal when $α\in(0,1]$ albeit at slower rates and under additional assumptions on the sample size. The results hold whether $α$ is constant or varies across factor loadings. The framework developed for heterogeneous loadings and the simplified proofs that can be also used in strong factor analysis are of independent interest.

研究の動機と目的

• 因子負荷係数が弱い、すなわち $\bm{\Lambda}^{0'\prime}\bm{\Lambda}^{0}/N^{\alpha}$ が $\alpha \in (0,1]$ の下で正定値行列に収束する場合の主成分推定量の漸近的性質を確立すること。
• 強力因子仮定（$\alpha=1$）が成り立たない場合、PC推定量が一貫性を保つかどうかという曖昧さを解消すること。特に、Onatski (2012) が $\alpha=0$ の場合に不一致を示していることに鑑みる。
• 因子ごとに異なる $\alpha_r$ を持つ非一様な負荷係数を扱う一般化されたフレームワークを構築し、漸近的挙動を決定するのは最も弱い負荷係数であることを示すこと。
• 回転行列 $\bm{H}$ の高レベルの仮定と近似を用いることで、強力因子分析における既存の証明を簡略化し、より柔軟な推論を可能にすること。

提案手法

• 本稿は、因子負荷係数の強さを $\alpha \in (0,1]$ でインデックス化する一般化された漸近的フレームワークを導入し、古典的な $\alpha=1$ の場合よりも弱い負荷係数を許容する。
• 推定因子 $\tilde{\bm{F}}$ を真の因子 $\bm{F}^0$ に一致させるために回転行列 $\bm{H}$ を使用し、$\bm{H}$ の漸近的近似を導出し、分析を簡略化する。
• 低ランク成分 $\tilde{\bm{C}}$ と要因空間の誤差率を導出する。具体的には、$\frac{1}{NT}\sum\|\tilde{C}_{it}-C_{it}^0\|^2 = O_p(N^{-1}) + O_p(T^{-1})$ を得る。
• 因子推定に関しては、誤差が $\frac{1}{T}\sum\|\tilde{F}_t - \bm{H}'F_t^0\|^2 = O_p(N^{-\alpha}) + O_p((N^{1-\alpha}/T)^2)$ であり、$\alpha > 0$ かつ $N^{1-\alpha}/T \to 0$ の下で $o_p(1)$ となる。
• 非一様な負荷係数を扱うために、$\alpha_1 \geq \cdots \geq \alpha_r > 0$ を許容し、漸近的挙動を決定するのは最も弱い負荷係数 $\alpha_r$ であることを示す。
• 回転行列 $\bm{H}$ の近似に基づく新規な証明技法を用いることで、漸近的分散表現が簡略化され、ユーザーが好む分散形式を用いた推論が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因子負荷係数が弱い、すなわち $\alpha \in (0,1)$ の場合、主成分推定量は一貫性を示すか？
• RQ2 弱い負荷係数の下で、推定因子および負荷係数の収束速度は何か？ また、強力因子の場合（$\alpha=1$）と比較するとどうなるか？
• RQ3 弱い負荷係数の下でも、推定量の漸近正規性は成立するのか？ その条件は何か？
• RQ4 負荷係数が因子ごとに異なる強さを持つ場合、漸近的挙動はどのように変化するか？ また、極限分布を決定するのはどの負荷係数の強さか？
• RQ5 証明技法は、弱い因子モデルおよび強い因子モデルの両方に一般化され、簡略化できるか？

主な発見

• 低ランク成分 $\tilde{\bm{C}}$ の主成分推定量は、誤差率 $O_p(N^{-1}) + O_p(T^{-1})$ で一貫しており、強力因子の場合と同一である。
• 推定因子空間の収束速度は $O_p(N^{-\alpha}) + O_p((N^{1-\alpha}/T)^2)$ であり、$\alpha > 0$ かつ $N^{1-\alpha}/T \to 0$ の下で $o_p(1)$ となる。これにより、因子空間の推定の一貫性が保証される。
• $\sqrt{N^\alpha}(\tilde{\bm{F}}_t - \bm{H}'\bm{F}_t^0)$ の漸近正規性は $\alpha > 1/2$ の下で必要であり、$\tilde{\bm{F}}_t$ の一貫性は $\alpha > 1/3$、$\tilde{\bm{\Lambda}}_i$ の一貫性は $\alpha > 0$ の下で成立する。
• 非一様な負荷係数で $\alpha_r$ が最も弱い場合、漸近正規性は $\alpha_r > 1/2$ を必要とするが、個々の推定量の一貫性は $\alpha_r \leq 1/2$ であっても成立し、$\alpha_r > 0$ であれば一貫性が保証される。
• 新規な証明技法により、既存の導出が簡略化され、ユーザーが好む漸近的分散表現を用いた柔軟な推論が可能になる。
• シミュレーション結果は、推定量が弱い負荷係数の下でも一貫しており、良好に機能することを確認している。因子および負荷係数推定の $R^2$ 値は、$T$ および $N$ が増加するにつれて向上し、$\alpha < 1$ の場合でも同様に成り立つ。