[論文レビュー] Approximate functional equations for the Hurwitz and Lerch zeta-functions

Takashi Miyagawa|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、HurwitzおよびLerchゼータ関数の新しい近似関数等式を、簡略化された鞍点法を用いて確立し、従来の結果よりもより柔軟なパラメータ選択を可能にする。また、臨界線におけるLerchゼータ関数の平均平方値の主要項を導出し、以前の研究と比較して洗練された証明を提供する。誤差項は、$ 0 < \alpha < 1 $ の場合 $ O(T(/\log T)^{1/2}) $、$ \alpha = 1 $ の場合 $ O(T(/\log T)^{3/4}) $ である。

ABSTRACT

As one of the asymptotic formulas for the zeta-function, Hardy and Littlewood gave asymptotic formulas called the approximate functional equation. In 2003, R. Garunkštis, A. Laurinčikas, and J. Steuding (in [1]) proved the Riemann-Siegel type of the approximate functional equation for the Lerch zeta-function $ ζ_L (s, α, λ) = \sum_{n=0}^\infty e^{2πi n λ}(n + α)^{-s} $. In this paper, we prove another type of approximate functional equations for the Hurwitz and Lerch zeta-functions. R. Garunkštis, A. Laurinčikas, and J. Steuding (in \cite{GLS2}) obtained the results on the mean square values of $ ζ_L (σ+ it, α, λ) $ with respect to $ t $. We obtain the main term of the mean square values of $ ζ_L (1/2 + it, α, λ) $ using a simpler method than their method in [2].

研究の動機と目的

• 臨界線における $ \zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda) $ の平均平方値のより単純で直接的な証明を提供し、以前の研究で用いられた複雑な道具を避ける。
• 臨界帯におけるLerchゼータ関数の明示的な漸近展開を導出し、古典的なRiemann-Siegel型公式を一般化する。
• 誤差項がパrameter $ \alpha $ および $ \lambda $ にどのように依存するかを明確にし、特に $ \alpha < 1 $ と $ \alpha = 1 $ の場合を区別する。
• 新しい近似関数等式を用いることで、平均平方公式の主要項を最小限の解析的複雑性で抽出できることを示す。
• 制約 $ 2\pi xy = |t| $ の下で、和の上限 $ x $ と $ y $ を独立に選べる新しい近似関数等式を、HurwitzおよびLerchゼータ関数に対して開発する。

提案手法

• ゼータ関数の積分表現に鞍点法を適用し、$ \zeta_L(s, \alpha, \lambda) $ および $ \zeta_H(s, \alpha) $ の新しい近似関数等式を導出する。
• 臨界帯 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ におけるHurwitzおよびLerchゼータ関数の近似に、定常位相法および漸近展開技術を適用し、$ 2\pi xy = |t| $ を満たすパラメータ $ x $ と $ y $ を用いる。
• ガンマ関数の関数等式と指数関数的位相シフトを用いて、双対和を $ \Gamma(1-s) $ の形に表現し、二つの和の間の対称性を確立する。
• スターリングの公式を用いてガンマ因子を評価し、漸近展開における誤差項を制御する。
• コーシー＝シュバルツの不等式と指数和の推定を用いて、臨界線上でのゼータ関数の $ L^2 $ ノルムを評価する。
• 主項と誤差項をバランスさせるために、パラメータ $ x = t / (2\pi \sqrt{\log t}) $、$ y = \sqrt{\log t} $ を選択する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約 $ 2\pi xy = |t| $ の下で、和の上限 $ x $ と $ y $ を独立に選べる新しい近似関数等式を、HurwitzおよびLerchゼータ関数に対して導出可能か？ これは従来の結果とは異なり、独立な選択が可能である。
• RQ2 Garunkštis, Laurinčićkas, and Steuding (2003) が用いた方法よりも、$ \zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda) $ の平均平方値の主要項をより単純な方法で導出可能か？
• RQ3 平均平方公式における誤差項がパラメータ $ \alpha $ および $ \lambda $ にどのように依存するか、特に $ \alpha = 1 $ の場合に注目して。
• RQ4 臨界帯におけるLerchゼータ関数の漸近展開を、主要項と誤差項を明確に分離し、明示的な評価を含む形で表現可能か？
• RQ5 積分 $ \int_1^T |\zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda)|^2 dt $ の $ T \to \infty $ における正確な漸近的挙動は何か？ また、$ \alpha $ に依存してどのように変化するか？

主な発見

• 本稿は、$ 0 \leq \sigma \leq 1 $ に対して有効な、Lerchゼータ関数 $ \zeta_L(s, \alpha, \lambda) $ およびHurwitzゼータ関数 $ \zeta_H(s, \alpha) $ の新しい近似関数等式を確立する。その形式は $ \zeta_L(s, \alpha, \lambda) = \sum_{n \leq x} \frac{e^{2\pi i n \lambda}}{(n+\alpha)^s} + \frac{\Gamma(1-s)}{(2\pi)^{1-s}} \left\{ e^{\{(1-s)/2 - 2\alpha\lambda\} \pi i} \sum_{n \leq y} \frac{e^{2\pi i n(1-\alpha)}}{(n+\lambda)^{1-s}} + e^{\{-(1-s)/2 + 2\alpha(1-\lambda)\} \pi i} \sum_{n \leq y} \frac{e^{2\pi i n \alpha}}{(n+1-\lambda)^{1-s}} \right\} + O(x^{-\sigma}) + O(|t|^{1/2 - \sigma} y^{\sigma - 1}) $ であり、$ 2\pi x y = |t| $ を満たす。
• $ \lambda = 1 $ の場合、近似関数等式は $ \zeta_H(s, \alpha) = \sum_{n \leq x} \frac{1}{(n+\alpha)^s} + \frac{\Gamma(1-s)}{(2\pi)^{1-s}} \left\{ e^{\pi i (1-s)/2} \sum_{n \leq y} \frac{e^{2\pi i n(1-\alpha)}}{n^{1-s}} + e^{-\pi i (1-s)/2} \sum_{n \leq y} \frac{e^{2\pi i n \alpha}}{n^{1-s}} \right\} + O(x^{-\sigma}) + O(|t|^{1-\sigma} y^{\sigma - 1}) $ に簡略化される。
• $ \zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda) $ の平均平方値は、$ T \to \infty $ のとき $ \int_1^T |\zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda)|^2 dt = T \log \frac{T}{2\pi} + O(T (\log T)^{1/2}) $ （$ 0 < \alpha < 1 $ の場合）および $ O(T (\log T)^{3/4}) $ （$ \alpha = 1 $ の場合）を満たす。
• 平均平方公式の主要項 $ T \log \frac{T}{2\pi} $ は、Garunkštis, Laurinčićkas, and Steuding (2003) が用いた方法よりも単純な方法で導出されており、新しい近似関数等式と指数和の精密な推定に依存する。
• $ \alpha = 1 $ の場合、誤差項は従来の結果よりも大きいが、導出は概念的および技術的により直接的であり、高度なスペクトル理論や複素解析的道具の必要がない。
• $ \alpha < 1 $ の場合、関数は長さ $ x \sim t / (2\pi \sqrt{\log t}) $ の部分和でよく近似され、剰余項は $ O(1) $ で有界である。一方、$ \alpha = 1 $ の場合、誤差は $ O((\log t)^{1/4}) $ であり、$ [1, T] $ 上で可積分である。