[論文レビュー] Approximate Multipartite Version of the Hajnal--Szemerédi Theorem

Béla Csaba|ArXiv.org|Jul 28, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、バランスの取れた $ q $-部グラフにおけるHajnal–Szemerédi定理の近似版を確立し、各頂点が他の部にわたって最小次数が $ \frac{k_q}{k_q+1}n $ 以上である場合——ここで $ k_q = q - \frac{3}{2} + \frac{h_q}{2} $ であり、$ h_q $ は $ q $ 番目の調和数である——には、十分に大きな $ n $ に対してグラフが $ K_q $-ファクターを含むことを証明している。証明は、超正則性と頂点再配分を用いたクライQUEファクターの埋め込みに、正則性補題とブロー・アップ補題を応用している。

ABSTRACT

Let $q$ be a positve integer, and $G$ be a $q$-partite simple graph on $qn$ vertices, with $n$ vertices in each vertex class. Let $δ={k_q \over k_q+1}$, where $k_q=q+O(\log{q})$. If each vertex of $G$ is adjacent to at least $δn$ vertices in each of the other vertex classes, $q$ is bounded and $n$ is large enough, then $G$ has a $K_q$-factor.

研究の動機と目的

• バランスの取れた $ q $-部グラフにおける $ K_q $-ファクターの存在を保証する十分な最小次数条件を確立すること。
• 元々のHajnal–Szemerédi定理の極端な次数条件を、multipartite設定における近似版に緩和すること。
• 色クラスが等しいサイズを持つ $ q $-彩色可能な部分グラフを用いて、$ H $-ファクターへの拡張を図ること。
• ブロー・アップ補題と正則性に基づく分解を用いた、構成的埋め込みフレームワークを提供すること。

提案手法

• Szemerédiの正則性補題を適用して、頂点集合をクラスタに分割する。例外的な小さな集合 $ W_0 $ を含む。
• クラスタグラフにおける超正則性を確立した後、ブロー・アップ補題を用いてクライQUEファクターを埋め込む。
• $ k_q = q - \frac{3}{2} + \frac{h_q}{2} $ を定義し、ここで $ h_q $ は $ q $ 番目の調和数である。これにより、閾値密度 $ \frac{k_q}{k_q+1} $ を決定する。
• クラスタ間で $ \varepsilon $-正則対を確立し、埋め込み後にクラスタサイズを均等化するためのバランス化アルゴリズムを適用する。
• 超正則性が保たれるように、$ W_0 $ からの頂点をクラスタに再配分するが、その際はそのクラスタのクライQUEに隣接している場合に限る。
• クラスタ間で長さ2以下の有向パスを用いて頂点の移動を促進し、超正則対の条件を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バランスの取れた $ q $-部グラフにおける $ K_q $-ファクターの存在を保証する最小の割合次数条件は何か？
• RQ2 Hajnal–Szemerédi定理を、有界な加法的誤差を持つmultipartite設定に拡張できるか？
• RQ3 ブロー・アップ補題と正則性補題をどのように組み合わせて、密度の高いmultipartiteグラフにクライQUEファクターを埋め込むか？
• RQ4 調和数は、$ K_q $-ファクターの閾値密度を決定する際に果たす役割は何か？
• RQ5 $ \chi(H) \leq q $ かつ色クラスが均等に分割されている場合、$ H $-ファクターを埋め込む条件は何か？

主な発見

• 十分に大きな $ n $ に対して、$ \widetilde{\delta}(G) \geq \frac{k_q}{k_q+1} $ を満たすバランスの取れた $ q $-部グラフ $ G $ は $ K_q $-ファクターを含む。ここで $ k_q = q - \frac{3}{2} + \frac{h_q}{2} $ である。
• 閾値密度 $ \frac{k_q}{k_q+1} $ は、漸近的に $ 1 - \frac{1}{2q} $ に近づき、古典的な $ \frac{q-1}{q} $ の境界を改善する。
• 証明は、超正則性と頂点再配分を用いて $ K_q $-ファクターを構成し、クライQUEファクター内のすべての辺が $ (\widehat{\varepsilon}, \widehat{d}) $-超正則対を表すことを保証する。
• 例外集合 $ W_0 $ は、各クラスタが $ \frac{|W_0|}{c_q \widehat{\ell}} $ 個以下の頂点を受け取るように再配分され、超正則性が保たれる。
• すべての $ W_0 $ 内の頂点が少なくとも $ c_q \widehat{\ell} $ 個のクライQUEに隣接していることが保証され、均等な再配分が可能になる。
• 系4では、$ H $ が固定されたグラフで $ \chi(H) \leq q $ かつ $ \kappa $ が $ n $ を割り切るならば、$ G $ は $ K_q $-ファクターの埋め込みにより $ H $-ファクターを含むことが示されている。