[論文レビュー] Approximate orthogonality of powers for ergodic affine unipotent diffeomorphisms on nilmanifolds

Livio Flaminio, Krzysztof Frączek+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2016

Geometry and complex manifolds被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、nilmanifold 上のエルゴード的アフィンユニポテンツ微分同相写像が、漸近的に直交するべき乗（AOP）性質を満たすことを確立している。この性質は、一意的エルゴード的モデルおよび典型的な短区間においてモービウス関数の直交性を意味する。主な結果は、冪零Lie群および不変測度の構造的解析を用いた、このような系におけるAOPの証明であり、モービウス直交性をnilsequenceおよびnil移動にまで拡張している。

ABSTRACT

Let $ G $ be a connected, simply connected nilpotent Lie group and $ \\Gamma < G $ a lattice. We prove that each ergodic diffeomorphism $ \\phi(x\\Gamma)=uA(x)\\Gamma $ on the nilmanifold $ G/\\Gamma $, where $ u\\in G $ and $ A:G\ o G $ is a unipotent automorphism satisfying $ A(\\Gamma)=\\Gamma $, enjoys the property of asymptotically orthogonal powers (AOP). Two consequences follow: (i) Sarnak's conjecture on M\\"obius orthogonality holds in every uniquely ergodic model of an ergodic affine unipotent diffeomorphism; (ii) For ergodic affine unipotent diffeomorphisms themselves, the M\\"obius orthogonality holds on so called typical short interval: $ \\frac1 M\\sum_{M\\leq m<2M}\\left|\\frac1H\\sum_{m\\leq n<m+H} f(\\phi^n(x\\Gamma))\\mu (n)\ ight|\ o 0$ as $ H\ o\\infty $ and $ H/M\ o0 $ for each $ x\\Gamma\\in G/\\Gamma $ and each $ f\\in C(G/\\Gamma) $. In particular, the results in (i) and (ii) hold for ergodic nil-translations. Moreover, we prove that each nilsequence is orthogonal to the M\\"obius function $\\mu$ on a typical short interval. We also study the problem of lifting of the AOP property to induced actions and derive some applications on uniform distribution.

研究の動機と目的

• nilmanifold 上のエルゴード的アフィンユニポテンツ微分同相写像における漸近的に直交するべき乗（AOP）性質の確立。
• このような系のすべての一意的エルゴード的モデルにおいて、サルナックのモービウス直交性に関する予想が成り立つことの証明。
• これらの力学系について、典型的な短区間におけるモービウス直交性の確認。
• AOP性質をnilsequenceおよびnil移動にまで拡張し、誘導作用へのAOPの持ち上げを研究すること。
• 冪零群力学における一様分布および不変測度論への応用の提供。

提案手法

• G が単連結な冪零Lie群で Γ が格であるとき、G/Γ 上のアフィンユニポテンツ微分同相写像 φ(xΓ) = uA(x)Γ の力学を分析する。
• 冪零Lie代数の構造および最小生成集合を用いて、格 Γ を保存するユニポテンツ自己同型 A の作用を研究する。
• 系のべき乗間の結合（joinings）の理論を適用し、結合集合が積測度からハウスドルフ距離で近づくことにより、AOP性質を検証する。
• ススペンション構成および圏論的推論を用いて、基本系の力学と誘導作用を関連付ける。
• ユニポテンツ作用および群拡張の不変測度論を活用し、AOP性質をより一般の系へ持ち上げる。
• 繰り返しLie括弧積および商代数を用いたLie代数の技法により、k重のLie積がk番目の導来代数を張ることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 nilmanifold 上のエルゴード的アフィンユニポテンツ微分同相写像は、漸近的に直交するべき乗（AOP）性質を満たすか？
• RQ2 AOP性質は、このような系のすべての一意的エルゴード的モデルにおいてモービウス直交性を意味するか？
• RQ3 H→∞ かつ H/M→0 の条件下で、これらの微分同相写像について、典型的な短区間におけるモービウス直交性は成立するか？
• RQ4 AOP性質は、コサイクルの適切な正則性およびエルゴード性条件のもとで、基本系から誘導作用へ持ち上げられるか？
• RQ5 nilsequenceは典型的な短区間においてモービウス関数と直交するか？

主な発見

• 任意のnilmanifold G/Γ 上のエルゴード的アフィンユニポテンツ微分同相写像 φ(xΓ) = uA(x)Γ は、AOP性質を満たす。
• このような系のすべての一意的エルゴード的モデルにおいて、サルナックのモービウス直交性に関する予想が成り立つ。
• 各 xΓ ∈ G/Γ および f ∈ C(G/Γ) に対して、平均 |(1/H)∑_{n=m}^{m+H-1} f(φⁿ(xΓ))μ(n)| は、H→∞ かつ H/M→0 のとき 0 に収束する。ただし M≤m<2M とする。
• nilsequenceは、同じ条件下でモービウス関数と直交する。つまり、f(φⁿ(xΓ))μ(n) の短区間平均はこの条件下で消える。
• 適切な正則性およびエルゴード性条件のもとで、AOP性質は誘導作用へ持ち上げられる。
• 任意のk段階冪零Lie代数における最小生成集合 S のk重Lie積は、k番目の導来代数 𝔤^{(k)} を張る。