[論文レビュー] Approximate Personalized PageRank on Dynamic Graphs

Hongyang Zhang, Peter Lofgren+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Complex Network Analysis Techniques参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、エッジの挿入・削除が頻繁に発生するグラフ上で、近似されたパーソナライズド・ページランク（PPR）ベクトルを効率的に維持する2つの動的アルゴリズム—Forward Push および Reverse Push—を提案する。2つのベクトル間の不変性を維持し、エッジ変更後に局所的な更新を適用することで、両アルゴリズムとも、1回の更新あたりO(1)のアームズド作業に加え、1回の静的PPR計算のコストを伴い、ランダムなエッジ更新順序のもとで誤差および実行時間に対して厳密な理論的境界を達成する。

ABSTRACT

We propose and analyze two algorithms for maintaining approximate Personalized PageRank (PPR) vectors on a dynamic graph, where edges are added or deleted. Our algorithms are natural dynamic versions of two known local variations of power iteration. One, Forward Push, propagates probability mass forwards along edges from a source node, while the other, Reverse Push, propagates local changes backwards along edges from a target. In both variations, we maintain an invariant between two vectors, and when an edge is updated, our algorithm first modifies the vectors to restore the invariant, then performs any needed local push operations to restore accuracy. For Reverse Push, we prove that for an arbitrary directed graph in a random edge model, or for an arbitrary undirected graph, given a uniformly random target node $t$, the cost to maintain a PPR vector to $t$ of additive error $\varepsilon$ as $k$ edges are updated is $O(k + \bar{d} / \varepsilon)$, where $\bar{d}$ is the average degree of the graph. This is $O(1)$ work per update, plus the cost of computing a reverse vector once on a static graph. For Forward Push, we show that on an arbitrary undirected graph, given a uniformly random start node $s$, the cost to maintain a PPR vector from $s$ of degree-normalized error $\varepsilon$ as $k$ edges are updated is $O(k + 1 / \varepsilon)$, which is again $O(1)$ per update plus the cost of computing a PPR vector once on a static graph.

研究の動機と目的

• エッジが頻繁に追加・削除される動的グラフにおいて、正確で事前計算されたPPRベクトルを維持する課題に対処すること。
• Forward PushおよびReverse Pushアルゴリズムの両方について、動的PPR維持の最初の厳密な理論的分析を提供すること。
• 低いアームズド更新コストを達成するとともに、加法的誤差または次数正規化誤差を制御するアルゴリズムの設計。
• モンテカルロ法や静的再計算手法と比較して、実用的側面で優れていること、特にストレージ効率と更新速度の面で。

提案手法

• アルゴリズムは、PPR推定値と残差ベクトルの間の不変性を維持する。残差ベクトルは、未処理の確率質量を追跡する。
• エッジが更新されると、アルゴリズムはまず、局所的かつ効率的な更新手順を用いて不変性を回復させる。
• 不変性を回復した後、残差がしきい値を超えるノードにのみ局所的なプッシュ操作を実行することで、誤差を制御する。
• Reverse Pushでは、ターゲットノードから後退的に変更を伝搬する。Forward Pushでは、ソースノードから前方に変更を伝搬する。
• 理論的分析では、アームズド解析を用いて、エッジ更新によって引き起こされるプッシュの連鎖を境界づける。ランダムなエッジ到着順を仮定する。
• アルゴリズムはシンプルで効率的であり、データ構造の変更が最小限で、ストレージオーバーヘッドも低い。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジ変更1回あたり、証明可能な低コストで動的グラフ上の近似PPRベクトルを維持できるか？
• RQ2 有界誤差のもとで、無向グラフにおける動的Forward Pushの理論的実行時間は何か？
• RQ3 有界加法誤差のもとで、有向および無向グラフにおける動的Reverse Pushの理論的実行時間は何か？
• RQ4 実用的側面において、動的PPRアルゴリズムの性能は、静的再計算法やモンテカルロ法と比べてどうか？
• RQ5 この分析を結合PPRベクトルや分散環境に拡張できるか？

主な発見

• 任意の有向グラフ、または一様ランダムなターゲットノードをもつ無向グラフにおけるReverse Pushについて、加法誤差εでPPRを維持する期待コストはO(k + d̄/ε)である。ここでkは更新回数、d̄は平均次数である。
• 一様ランダムなソースノードをもつ無向グラフにおけるForward Pushについて、次数正規化誤差εを維持するコストはO(k + 1/ε)であり、1回の更新あたりO(1)のアームズド作業を達成する。
• LiveJournalグラフにおいて、動的Reverse Pushアルゴリズムは、エッジ挿入ごとに再計算する方法よりも100倍速く、更新回数に対して線形にスケーリングする。
• Top-K PPRリtrievalタスクにおいて、Forward PushはBahmaniらのモンテカルロ法と比較して、ストレージを4.5〜12倍少なく、エッジ更新を1.5〜2.5倍速く処理する。
• 提案された動的Forward Pushの更新ルールは、Ohsakaらの先行手法と比較して1.5〜3.5倍速く、精度を損なわずに行える。
• 理論的境界はランダムなエッジ更新順序のもとで成り立ち、無向グラフではモンテカルロ法の最悪ケースのエッジ到着順に対しても解析が強化され、先行研究を拡張する。