[論文レビュー] Approximate quantum and acoustic cloaking

Allan Greenleaf, Yaroslav Kurylev+2 more|ArXiv.org|Dec 9, 2008

Metamaterials and Metasurfaces Applications参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、円環領域において有界で等方的かつ特異性のないポテンシャル $V_n^E$ の族を構築し、これが近似的な量子的および音響的クローキングとして機能し、散乱断面積が $n \to \infty$ の際に消えるようにする。この手法は、切断、逆均質化、スペクトル論を用いた等方的変換光学により、理想のクローキング設計の特異性と異方性を除去し、被覆領域内での任意の compactly supported ポテンシャルに対して近似的な透明性を実現する。一方、ノイマン固有値付近に共鳴モードが出現する。

ABSTRACT

At any energy E > 0, we construct a sequence of bounded potentials $V^E_{n}, n\in\N$, supported in an annular region $B_{out}\setminus B_{inn}$ in three-space, which act as approximate cloaks for solutions of Schrödinger's equation: For any potential $V_0\in L^\infty(B_{inn})$ such that E is not a Neumann eigenvalue of $-Δ+V_0$ in $B_{inn}$, the scattering amplitudes $a_{V_0+V_n^E}(E,θ,ω) o 0$ as $n o\infty$. The $V^E_{n}$ thus not only form a family of approximately transparent potentials, but also function as approximate invisibility cloaks in quantum mechanics. On the other hand, for $E$ close to interior eigenvalues, resonances develop and there exist {\it almost trapped states} concentrated in $B_{inn}$. We derive the $V_n^E$ from singular, anisotropic transformation optics-based cloaks by a de-anisotropization procedure, which we call \emph{isotropic transformation optics}. This technique uses truncation, inverse homogenization and spectral theory to produce nonsingular, isotropic approximate cloaks. As an intermediate step, we also obtain approximate cloaking for a general class of equations including the acoustic equation.

研究の動機と目的

• 量子的および音響的システムにおける物理的に実現可能な特異性のない等方的クローキングポテンシャルを構築し、理想のクローキング挙動を近似的に再現すること。
• 特異的かつ異方的変換光学によるクローキングの限界を克服し、数学的正則化により有界で滑らかな代替設計を構築すること。
• 近似的クローキングと被覆領域のノイマン固有値付近に現れるほぼ閉じ込められた状態との間の相互作用を分析すること。
• 磁気ポテンシャルを含める枠組みを拡張し、クローキング状態と共鳴状態との間で動的切り替えを可能にすること。
• 近似的クローキングとディリクレ・トゥ・ノイマン写像および散乱断面積の振る舞いとの間の厳密な関係を確立すること。

提案手法

• 特異的で異方的な変換光学によるクローキング設計から、『等方的変換光学』と呼ばれる異方性除去手順を用いて近似的なクローキングを導出する。
• 切断と逆均質化を適用し、特異的で異方的な材料パラメータを有界で等方的な等価媒体に変換する。
• スペクトル論を用いて、得られたポテンシャル $V_n^E$ が、任意の $V_0 \in L^\infty(B_{\text{inn}})$ に対して $E$ が $B_{\text{inn}}$ 内の $-\Delta + V_0$ のノイマン固有値でない限り、散乱断面積 $a_{V_0 + V_n^E}(E, \cdot, \cdot) \to 0$ となることを保証する。
• ゲージ変換を用いて音響的およびシュレーディンガー的散乱問題の等価性を確立し、波動方程式の間で数値的検証を可能にする。
• 層状領域における導電率およびポテンシャル分布の区分的定数近似を用い、散乱および境界値問題を数値的に解く。
• 各層における数値解法には、$N=7$ までの球面調和関数およびベッセル関数展開を用い、界面境界条件は線形方程式系により解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的で異方的な変換光学によるクローキングは、有界で等方的かつ物理的に実現可能なポテンシャルに正則化可能であり、近似的クローキングを維持できるか？
• RQ2 $n \to \infty$ のとき、$V_n^E$ の散乱断面積はどのように振る舞い、どのような条件下でクローキングが失敗するか？
• RQ3 ノイマン固有値は、ほぼ閉じ込められた状態の出現およびクローキング性能の低下に果たす役割は何か？
• RQ4 磁気ポテンシャルを用いて、クローキング状態と共鳴状態との間で動的切り替えが可能か？
• RQ5 近的クローキングのディリクレ・トゥ・ノイマン写像は、外部領域の写像 $\Lambda^{E}_{\text{out}}$ に対してどの程度近似するか？

主な発見

• 任意の $V_0 \in L^\infty(B_{\text{inn}})$ に対して、$E$ が $B_{\text{inn}}$ 内の $-\Delta + V_0$ のノイマン固有値でない限り、散乱断面積 $a_{V_0 + V_n^E}(E, \cdot, \cdot) \to 0$ となることが確認され、近似的クローキングが成立することが示された。
• ノイマン固有値 $E_{(n)}$ 付近では、$B_{\text{inn}}$ に集中するほぼ閉じ込められた状態が存在し、波の浸透が顕著に現れ、境界測定値も検出可能となる。
• 数値結果から、$k^2 = E = 2$ が例外値 $E_{(n)}$ から離れている場合、全場 $u^{\text{tot}}$ は自由波のように振る舞うが、$E_{(n)}$ では固有関数 $u$ が $B_{\text{inn}}$ に強く局在化することが示された。
• ゲージ変換 $\psi = \sigma_n^{1/2} u$ により、音響的解がシュレーディンガー的解に写像され、波動方程式間でクローキングおよび共鳴挙動が保存される。
• $E$ が $E_{(n)}$ に近づくにつれ、クローキングの品質が低下し、DN写像の境界測定値が外部領域の写像 $\Lambda^{E}_{\text{out}}$ から逸脱する。
• $Q_{\text{in}} = 1$ の場合、クローキングは効果的に散乱を抑制する。一方、$Q_{\text{in}} = -2.576$ の場合、被覆領域に強い場の集中を示す共鳴状態が出現する。