[論文レビュー] Approximate Solutions of Combinatorial Problems via Quantum Relaxations

Bryce Fuller, Charles Hadfield+9 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、量子ランダムアクセスコードにインspされた可換写像を用いて、古典的コスト関数を局所的量子ハミルトニアンに写像することにより、特に最大カット（MaxCut）問題を含むNP困難な組合せ最適化問題の近似解を求める、新しい量子緩和フレームワークを提案する。2つの量子ラウンディングプロトコル（マジック状態へのランダム射影および決定的パウリ観測量推定）を用いることで、3〜40ノードのグラフに対して超伝導量子プロセッサを用いて効率的にテスト可能な、少なくとも0.555または0.625の近似比が達成される。

ABSTRACT

Combinatorial problems are formulated to find optimal designs within a fixed set of constraints. They are commonly found across diverse engineering and scientific domains. Understanding how to best use quantum computers for combinatorial optimization is to date an open problem. Here we propose new methods for producing approximate solutions for the maximum cut problem and its weighted version, which are based on relaxations to local quantum Hamiltonians. These relaxations are defined through commutative maps, which in turn are constructed borrowing ideas from quantum random access codes. We establish relations between the spectra of the relaxed Hamiltonians and optimal cuts of the original problems, via two quantum rounding protocols. The first one is based on projections to random magic states. It produces average cuts that approximate the optimal one by a factor of least 0.555 or 0.625, depending on the relaxation chosen, if given access to a quantum state with energy between the optimal classical cut and the maximal relaxed energy. The second rounding protocol is deterministic and it is based on estimation of Pauli observables. The proposed quantum relaxations inherit memory compression from quantum random access codes, which allowed us to test the performances of the methods presented for 3-regular random graphs and a design problem motivated by industry for sizes up to 40 nodes, on superconducting quantum processors.

研究の動機と目的

• 組合せ最適化問題のための新しい量子緩和フレームワークを開発し、量子メモリの利点を活用すること。
• 古典的MaxCut問題から局所的量子ハミルトニアンへの写像を確立し、エネルギー期待値を保存すること。
• 緩和された量子基底状態を近似古典解に変換するための量子ラウンディングプロトコルを設計すること。
• 変分エネルギー推定器と誤り補償を用いて、実際の量子ハードウェア上で提案手法の性能をテストすること。
• 3正則ランダムグラフおよび産業的40ノード複合材設計問題において、そのスケーラビリティと有効性を示すこと。

提案手法

• 古典的スピン配置から密度行列への可換写像を用いて、MaxCut問題のハミルトニアン緩和を構築し、ハミルトニアンの期待値が古典的カット値と一致することを保証する。
• グラフの局所的密集森（LDF）彩色に基づくラベル付けスキームを用いて、頂点にパウリ演算子を割り当て、局所的かつ低重みのハミルトニアンを実現する。
• 2つの量子ラウンディングプロトコルを導入する：1つはランダムマジック状態への射影に基づくもので、もう1つはパウリ観測量の決定的推定を用いるもの。
• 緩和されたハミルトニアンは、量子ランダムアクセスコードからのメモリ圧縮を継承し、qubit数の削減を実現しながらも、元の問題とのスペクトル対応を維持する。
• 超伝導プロセッサ上で近似基底状態を準備するため、ハードウェア効率の良いアーサンツを用いた変分量子固有状態探索（VQE）を用い、テンソル化された測定フィルタを用いて読み出し誤り補正を実施する。
• 本手法は、IBMの27量子ビットのibmq_dublinデバイスを用いて、3正則ランダムグラフおよび40ノードの産業的複合材設計問題の両方で検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的組合せ最適化問題の量子緩和が、その基底状態エネルギーが古典的カット値に対応するように構築可能か？
• RQ2 緩和された量子基底状態に適用する量子ラウンディングプロトコルによって達成可能な近似比は何か？
• RQ3 40ノードまでのグラフに対して、実際の量子ハードウェア上での本量子緩和手法のスケーリング特性はいかがなものか？
• RQ4 量子ランダムアクセスコードのメモリ圧縮効果が、組合せ最適化のための量子緩和に有効に活用可能か？
• RQ5 ノイジィな中規模量子デバイス上での、確率的ラウンディングと決定的ラウンディングの戦略の違いが、解の品質と耐障害性に与える影響は何か？

主な発見

• エネルギーが最適古典的カット値と最大緩和エネルギーの間にある量子状態を用いる場合、提案された量子緩和手法は、緩和の選択に応じて、平均で少なくとも0.555または0.625の近似比を達成する。
• マジック状態へのランダム射影に基づく確率的量子ラウンディングプロトコルは、一貫して最適値の0.555または0.625倍以内のカットを生成する。
• パウリ観測量推定に基づく決定的ラウンディングプロトコルは、緩和された量子状態から古典的解を抽出するための信頼性が高く再現性のある手法を提供する。
• 本手法は、3正則ランダムグラフおよび40ノードの産業的設計問題において、27量子ビットのIBM ibmq_dublinプロセッサを用いて成功裏にテストされ、現在のノイジィなハードウェア上での実現可能性が示された。
• ハードウェア効率の良いアーサンツを用いたVQEと読み出し誤り補正の組み合わせにより、緩和されたハミルトニアンの安定した基底状態準備と正確なエネルギー推定が可能になった。
• 緩和されたハミルトニアンと元のMaxCut問題との間のスペクトル対応が保持されており、緩和フレームワークの正しさと実用性が裏付けられた。