[論文レビュー] Approximate solutions to large nonsymmetric differential Riccati problems.

M. Hached, Khalide Jbilou|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、低ランク構造を有する大規模非対称微分リカチ方程式を解くための、Krylovに基づくモデル次元削減手法を提案する。拡張ブロックアーノルドイ法を用いて問題を小さなKrylov部分空間に射影することで、指数型積分法またはBDF/Rosenbrockスキームを効率的に適用可能とし、計算コストを著しく削減しながら制御理論や輸送方程式の応用分野においても精度を維持する。

ABSTRACT

In the present paper, we consider large scale nonsymmetric differential matrix Riccati equations with low rank right hand sides. These matrix equations appear in many applications such as control theory, transport theory, applied probability and others. We show how to apply Krylov-type methods such as the extended block Arnoldi algorithm to get low rank approximate solutions. The initial problem is projected onto small subspaces to get low dimensional nonsymmetric differential equations that are solved using the exponential approximation or via other integration schemes such as Backward Differentiation Formula (BDF) or Rosenbrok method. We also show how these technique could be easily used to solve some problems from the well known transport equation. Some numerical experiments are given to illustrate the application of the proposed methods to large-scale problems.

研究の動機と目的

• 制御理論、輸送、確率の分野で生じる大規模非対称微分行列リカチ方程式を解く際の計算上の課題に対処すること。
• これらの方程式における右辺の低ランク構造を保ちながら、数値的に効率的な手法を開発すること。
• Krylov技術を用いて小さな低次元部分空間に射影することで、大規模問題のスケーラブルな解法を可能とすること。
• 輸送方程式に由来する問題を含むベンチマーク問題を用いて、手法の有効性を示すこと。
• 削減された設定において、指数型積分法、BDF、およびRosenbrockスキームの性能と精度を比較すること。

提案手法

• 大規模リカチ問題の支配的ダイナミクスを捉える低次元Krylov部分空間を構築するために、拡張ブロックアーノルドイ法を適用する。
• 元の大きなスケールの非対称微分リカチ方程式を小さなKrylov部分空間に射影し、低次元の微分行列方程式に還元する。
• 剛性系に適した指数型積分法、後退差分公式（BDF）、またはRosenbrock法を用いて、還元された問題を解く。
• 右辺の低ランク構造を活用することで、解法プロセス全体を通して計算効率を維持する。
• 統合後、元の空間における低ランク近似から全解を再構築する。
• 実用的応用性の検証のため、輸送方程式に由来する問題を用いて手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Krylovに基づくモデル次元削減は、低ランク構造を有する大規模非対称微分リカチ方程式を効果的に処理できるか？
• RQ2 還元された問題に適用した場合、指数型積分法、BDF、Rosenbrockスキームの間で、精度と効率にどのような差が生じるか？
• RQ3 低ランク射影は、元の大きなスケール系の本質的ダイナミクスをどの程度正確に保っているか？
• RQ4 提案手法は、輸送方程式に由来する問題に効率的に適用可能か？
• RQ5 フルオーダー解法と比較して、CPU時間およびメモリ使用量の観点からどの程度の計算的利得が得られるか？

主な発見

• Krylovに基づく射影法は、大規模非対称微分リカチ方程式の次元を低減しつつ、解の精度を維持することに成功した。
• 指数型積分法、BDF、Rosenbrockスキームはいずれも還元された問題に対して安定かつ正確な解をもたらし、非剛性成分に対しては指数型積分法が優れた性能を示した。
• 右辺の低ランク構造とシステムの固有構造を活用することで、著しい計算的節約が達成された。
• 数値実験により、本手法のロバストネスとスケーラビリティが大規模問題、特に輸送方程式に由来する問題において確認された。
• 長時間積分に対しても、還元されたモデルは高い精度を維持しており、安定性と収束性を示した。
• 標準的な直接解法ではメモリおよび時間的制約により解けない問題に対しても、本手法により解法が可能となった。