[論文レビュー] Approximate Spielman-Teng theorems for random matrices with heavy-tailed entries: a combinatorial view

Vishesh Jain|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、重い尾を持つエントリを有する逆Littlewood-Offord問題に対して、組合せ的で改善された境界を確立し、それらを応用して、同一分布に従う平均ゼロ、分散1のエントリを有するランダム行列の最小特異値に関する、簡素化された非漸近的境界を導出する。$\Pr(s_n(M_n) \leq \eta) \lesssim n^2\eta + \exp(-n^c)$（$c > 0$）という結果を得ており、近似的に最良の結果の洗練された証明を提供する。

ABSTRACT

This paper makes two contributions to the areas of anti-concentration and non-asymptotic random matrix theory. First, we study the counting problem in inverse Littlewood-Offord theory for general random variables: for random variables $\xi_1,\dots,\xi_n$ which are i.i.d. copies of a random variable $\xi$ (satisfying some mild hypotheses), how many integer vectors $\boldsymbol{a}:=(a_1,\dots,a_n)$ in a prescribed box have large $ ho_{1,\xi}(\boldsymbol{a}):=\sup_{x\in \mathbb{R}}\Pr(\sum_{i=1}^{n}\xi_i a_i \in B(x,1))$? Building on recent work of Ferber, Jain, Luh, and Samotij (who treated the case when $\xi$ is a Rademacher random variable), we provide significantly better bounds for this problem than those obtained using the inverse Littlewood-Offord theorems of Tao and Vu, and Nguyen and Vu. Next, we study the non-asymptotic behavior of the least singular value $s_n(M_n)$ of a random $n imes n$ square matrix $M_n$ with i.i.d. entries, which are only assumed to be centered with variance $1$. As an application of our counting theorem, and utilizing and developing a recent work by the author, we show that for all $\eta \geq 0$, $\Pr(s_n(M_n) \leq \eta) \lesssim n^{2}\eta + \exp(-n^{c})$, where $c>0$ is an absolute constant, thereby providing a considerably simpler proof of an approximate version of an essentially optimal result due to Rebrova and Tikhomirov.

研究の動機と目的

• ラマーチャー変数を超えて、一般の同一分布に従う重い尾を持つ確率変数へと逆Littlewood-Offord理論を拡張すること。
• 線形形式における大きな集中確率を持つ整数ベクトルの数に関する、既存の境界の改善。
• 同一分布に従う平均ゼロ、分散1のエントリを有するランダム行列の最小特異値 $s_n(M_n)$ の非漸近的挙動の分析。
• 新しい数え上げ定理を用いて、最良の最小特異値境界の近似版に対する簡潔な証明を提供すること。

提案手法

• 整数ベクトル $\boldsymbol{a}$ をボックス内に制限し、その集中確率 $\rho_{1,\xi}(\boldsymbol{a})$ が大きい場合の数を数えるための組合せ的フレームワークを構築する。
• フェルバーらによる非ラマーチャー分布における逆Littlewood-Offord理論の最近の結果を適合・強化する。
• 新しい数え上げ定理を用いて、最小特異値 $s_n(M_n)$ の尾の挙動を制御する。
• 著者の最近の手法を用い、$\Pr(s_n(M_n) \leq \eta)$ に対する非漸近的境界を導出する。
• 反集中技術と指数モーメントの境界を用いて、小さな特異値の確率を制御する。
• 組合せ的数え上げと確率的推定を組み合わせることで、$n^2\eta + \exp(-n^c)$ のオーダーの鋭い境界を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆Littlewood-Offord理論を、一般の同一分布に従う重い尾を持つ確率変数へどのように拡張できるか？
• RQ2 非正規分布のエントリに対して、高い集中確率を持つ整数ベクトルの数に関する、より鋭い組合せ的境界は何か？
• RQ3 重い尾を持つエントリを有するランダム行列の非漸近的最小特異値境界に対して、簡潔な証明を与えることは可能か？
• RQ4 最小のモーメント仮定のもとで、$\Pr(s_n(M_n) \leq \eta)$ が $\eta$ と $n$ に対して最適な依存関係は何か？

主な発見

• 本稿は、先行する逆Littlewood-Offord定理に比べ、集中確率が大きい整数ベクトルの数に関する著しく改善された境界を提供する。
• 任意の $\eta \geq 0$ に対して、非漸近的境界 $\Pr(s_n(M_n) \leq \eta) \lesssim n^2\eta + \exp(-n^c)$（$c > 0$ は絶対定数）を確立する。
• RebrovaとTikhomirovによる最良の結果の定性的な挙動を再現するが、証明がはるかに簡潔である。
• 高次元確率論の深い道具を避けており、代わりに組合せ的数え上げと反集中に依存する。
• 最小限の仮定のもとで成立する：平均ゼロ、分散1の同一分布に従うエントリ、高次モーメントは必要ない。
• フレームワークは一般性に富んでおり、サブガウス型やラマーチャー変数に限らず、ややいなめしの仮定を満たす任意の同一分布に従う確率変数へ適用可能である。