[論文レビュー] Approximate tensor decompositions: disappearance of many separations

Gemma De las Cuevas, Andreas Klingler+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2020

Tensor decomposition and applications参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、行列のランク、正定値ランク、非負ランクといった古典的な分離性—たとえば、ランクと非負ランクの間の分離性—が近似分解において消失することを示している。著者らは、シュレーディンガー p-ノルムおよび ℓp-ノルムにおけるカルタエドリの定理の近似版を導入することで、任意の近似誤差 ε > 0 および p > 1 に対して、ランクが多項式的かつ有界になることを示しており、これはこのような分離性が微小な摂動に対しては安定でないことを示唆している。

ABSTRACT

It is well-known that tensor decompositions show separations, that is, that constraints on local terms (such as positivity) may entail an arbitrarily high cost in their representation. Here we show that many of these separations disappear in the approximate case. Specifically, for every approximation error $\varepsilon$ and norm, we define the approximate rank as the minimum rank of an element in the $\varepsilon$-ball with respect to that norm. For positive semidefinite matrices, we show that the separations between rank, purification rank, and separable rank disappear for a large class of Schatten $p$-norms. For nonnegative tensors, we show that the separations between rank, positive semidefinite rank, and nonnegative rank disappear for all $\ell_p$-norms with $p>1$. For the trace norm ($p = 1$), we obtain upper bounds that depend on the ambient dimension. We also provide a deterministic algorithm to obtain the approximate decomposition attaining our bounds. Our main tool is an approximate version of Carath\'eodory's Theorem. Our results imply that many separations are not robust under small perturbations of the tensor, with implications in quantum many-body systems and communication complexity.

研究の動機と目的

• 古典的なテンソルランクの分離性（たとえばランク対非負ランク）が微小な摂動のもとでも保持されるかどうかを調査すること。
• 正確な分解で観察される指数的または超多項式的ギャップが、近似テンソル分解によって解消可能かどうかを特定すること。
• 特にシュレーディンガー p-ノルムおよび ℓp-ノルム（p > 1）に対して、さまざまなノルムのもとでの近似ランクの上界を確立すること。
• 導出された上界を達成する近似分解を計算する決定的アルゴリズムを開発すること。
• 量子情報および多体物理学におけるランク分離性がノイズや近似のもとでどれほど頑健であるかを分析すること。

提案手法

• シュレーディンガー p-ノルムおよび ℓp-ノルムに特化したカルタエドリの定理の近似版を導入し、凸包の近似をランクに制限した形で可能にする。
• 近似（Ω, G）-ランクを、与えられたノルムのもとでターゲットテンソルの ε-ボール内にある要素の最小ランクとして定義する。
• ゲージ関数およびノルムに基づく最適化を用いて、近似ランクを環境次元および ε の関数として上界で評価する。
• 群作用および重み付き単体的複体（wsc）を用いて、特に不変テンソルにおけるテンソル分解の対称性を符号化する。
• ノルム球上での凸最適化に基づく決定的アルゴリズムを構築し、導出された上界を達成する近似分解を計算する。
• トレースノルム（p = 1）のケースを別個に分析し、環境次元に比例する上界を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク ≪ psd-ランク ≪ nn-ランクといったテンソルランクの分離性—たとえば、ランクと非負ランクの間の分離性—は微小な近似誤差のもとでも保持されるか？
• RQ2 シュレーディンガー p-ノルム（p > 1）に対して、近似ランクが近似誤差 ε および環境次元に関して多項式的かつ有界に抑えられるか？
• RQ3 特に量子系および通信複雑度において、ランク分離性はどれほど摂動に対して頑健であるか？
• RQ4 トレースノルム（p = 1）のケースも同様に有界化可能か？また、その上界は次元にどのように依存するか？
• RQ5 テンソル積構造や局所的距離測度を活用することで、グローバルなノルムに基づく近似よりもタイトな上界を導出可能か？

主な発見

• 正定値行列に対しては、ランク、純化ランク、分離可能ランクの間の分離性が、p > 1 における任意のシュレーディンガー p-ノルムに対する近似のもとで消失する。
• 非負テンソルに対しては、ランク、正定値ランク、非負ランクの間の分離性が、p > 1 における任意の ℓp-ノルムに対する近似のもとで消失する。
• トレースノルム（p = 1）に対しては、近似ランクの上界が導出され、環境次元に多項式的に依存することが示された。
• シュレーディンガー p-ノルムおよび ℓp-ノルムに対して、近似カルタエドリの定理が確立され、近似ランクの上界を評価するための核心的理論的道具として機能する。
• 導出された上界を達成する近似分解を計算する決定的アルゴリズムが提供され、ノルム球上での凸最適化に基づくものである。
• 結果として、ランク分離性は微小な摂動に対して頑健でないことが示され、量子多体系および通信複雑度に影響を及ぼすものである。