[論文レビュー] Approximate Undirected Maximum Flows in O(m polylog(n)) Time

Richard Peng|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、超スパース化と無関係ルーティングスキームを再帰的に活用することで、無向グラフにおける最大フローの近似に対して最初の $O(m\text{polylog}(n))$ 時間アルゴリズムを提示する。フロー近似における「しゅんかいとたまご」のジレンマを、サイズ削減を用いて再帰的コストを制限することで解決し、近似的に線形時間の計算量と多対数的近似精度を達成する。

ABSTRACT

We give the first O(m polylog(n)) time algorithms for approximating maximum flows in undirected graphs and constructing polylog(n) -quality cut-approximating hierarchical tree decompositions. Our algorithm invokes existing algorithms for these two problems recursively while gradually incorporating size reductions. These size reductions are in turn obtained via ultra-sparsifiers, which are key tools in solvers for symmetric diagonally dominant (SDD) linear systems.

研究の動機と目的

• 無向グラフにおける近似最大フローの $O(m^{1+o(1)})$ ランタイムの壁を破ること。
• 再帰的最適フローキャルの依存関係によって生じる、多対数的品質の無関係ルーティングスキームの構築における「しゅんかいとたまご」のジレンマを解消すること。
• 再帰的フローインスタンスの累積サイズを制限することで、$O(m\text{polylog}(n))$ の総実行時間の達成。
• 多対数的品質のカット近似ハイアラルキカルツリー分解の効率的構築を可能にすること。
• 従来のコンgestion近似器やレートカット近似に依存する手法を統合・改善すること。

提案手法

• 超スパース化を用いて、段階的に小さくなるグラフ上で近似最大フローアルゴリズムを再帰的に呼び出すこと。
• 超スパース化によりグラフサイズを $\text{polylog}(n)$ 倍に縮小し、再帰的コストが $O(m)$ のまま保たれることを保証すること。
• スパース化された部分グラフ上で再帰的呼び出しを用いて、元のグラフの $\text{polylog}(n)$-コンゲスト近似器を構築すること。
• 行列-ベクトル積を用いて、スパース化されたグラフからの近似器を元のグラフに変換し、コストを制限すること。
• Räcke らの無関係ルーティングスキーム構築法をブラックボックス近似器として活用し、$\text{polylog}(n)$ の品質を達成すること。
• モンテカルロの確率的ルーチンを用い、失敗確率を再帰的呼び出しの和集合によるバウンディングで制限することで、高確率での成功を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無向グラフにおける近似最大フローは $O(m\text{polylog}(n))$ 時間で計算可能か？
• RQ2 フロー近似と無関係ルーティング構築の再帰的依存関係は、近似的に線形時間に到達可能か？
• RQ3 超スパース化を用いて、再帰的フローコンピューティングの総サイズを $O(m)$ に制限可能か？
• RQ4 多対数的品質の無関係ルーティングスキームは、$O(m\text{polylog}(n))$ 時間で構築可能か？
• RQ5 近似的に線形の総実行時間の達成と併せて、フローアプロキマションにおける $\epsilon^{-3}$ 依存性を維持可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、$O(m\log^{41}n\log^{2}\log{n}\max\{\log^{9}n,\epsilon^{-3}\})$ 時間で $(1+\epsilon)$-近似最大フロー解を達成する。
• 超スパース化によるサイズ削減のおかげで、すべての再帰的最適フローキャルの総コストが $O(m\text{polylog}(n))$ に制限される。
• 多対数的品質の無関係ルーティングスキームは、$O(m\log^{45}n\log^{2}\log{n}})$ 時間で構築可能である。
• 再帰的呼び出しにより小さなグラフ上で処理を行うことで、全体のコストが $O(m\text{polylog}(n))$ を超えないように保証することで、「しゅんかいとたまご」のジレンマを解消した。
• 超スパース化の使用により、すべての再帰的フローインスタンスの総サイズが $m/2$ 未満に抑えられ、再帰的コストの幾何級数的減少を実現した。
• 再帰的スパース化とブラックボックス無関係ルーティング、コンゲスト近似器ルーチンの組み合わせにより、$O(m\text{polylog}(n))$ の実行時間の達成に成功した。