[論文レビュー] Approximate unitary $t$-designs by short random quantum circuits using nearest-neighbor and long-range gates

Aram W. Harrow, Saeed Mehraban|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2018

Mathematical Approximation and Integration被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、D次元格子上の近接スピン間または長距離ゲートを用いた短いランダム量子回路が、深さ $\operatorname{poly}(t) \cdot n^{1/D}$ で近似的なユニタリ $t$-デザインを達成することを示している。これは、従来の線形深さの境界と比べて顕著な改善である。主な結果は、このような回路がサブ線形深さで反濃度化を示すことであり、量子計算優位性実験に $O(\sqrt{n})$ の深さで十分であることを確認している。

ABSTRACT

We prove that $poly(t) \cdot n^{1/D}$-depth local random quantum circuits with two qudit nearest-neighbor gates on a $D$-dimensional lattice with n qudits are approximate $t$-designs in various measures. These include the "monomial" measure, meaning that the monomials of a random circuit from this family have expectation close to the value that would result from the Haar measure. Previously, the best bound was $poly(t)\cdot n$ due to Brandao-Harrow-Horodecki (BHH) for $D=1$. We also improve the "scrambling" and "decoupling" bounds for spatially local random circuits due to Brown and Fawzi. One consequence of our result is that assuming the polynomial hierarchy (PH) is infinite and that certain counting problems are $\#P$-hard on average, sampling within total variation distance from these circuits is hard for classical computers. Previously, exact sampling from the outputs of even constant-depth quantum circuits was known to be hard for classical computers under the assumption that PH is infinite. However, to show the hardness of approximate sampling using this strategy requires that the quantum circuits have a property called "anti-concentration", meaning roughly that the output has near-maximal entropy. Unitary 2-designs have the desired anti-concentration property. Thus our result improves the required depth for this level of anti-concentration from linear depth to a sub-linear value, depending on the geometry of the interactions. This is relevant to a recent proposal by the Google Quantum AI group to perform such a sampling task with 49 qubits on a two-dimensional lattice and confirms their conjecture that $O(\sqrt n)$ depth suffices for anti-concentration. We also prove that anti-concentration is possible in depth O(log(n) loglog(n)) using a different model.

研究の動機と目的

• D次元格子上の短いランダム量子回路が、$\operatorname{poly}(t) \cdot n^{1/D}$ の深さスケーリングで近似的な $t$-デザインを形成できることを確立すること。これは、従来の $\operatorname{poly}(t) \cdot n$ の境界を改善する。
• 低深さ回路における出力状態確率の反濃度化を証明すること。これは、量子計算的優位性を示すために不可欠である。
• 空間的に局所的なランダム回路におけるスキャリングおよびデカップリング性質の解析を拡張し、先行研究からの境界を改善すること。
• Google Quantum AI や USTC が最近発表した実験的主張を支持するために、$O(\sqrt{n})$ の深さ回路で反濃度化が達成可能であることを確認すること。
• 低深さ回路におけるハーメル測度への収束の異なる尺度（例：単項式、衝突確率）を、ノルムの同値性を用いて統一すること。

提案手法

• Brandão-Harrow-Horodecki (2014) が提唱した $t$-デザインの構成をベースとし、低深さ設定に適応する。
• 置換演算子の準直交性を用いた近似的なデザインの合成解析を行い、先行研究の技術を拡張する。
• 反濃度化に対応する新しいノルムを導入し、低深さ回路において他の標準的ノルムと同値であることを証明する。
• 長距離ランダム回路におけるマルコフ連鎖解析を用いて、衝突確率の上限を評価し、サイズ $O(n\ln^2 n)$（すなわち深さ $O(\ln^3 n)$）で反濃度化を確立する。
• Krawtchouk多項式の恒等式と二項ノルムの直交性を用いて、モーメントと収束速度を解析する。
• Paley-Zygmund不等式を用いて、大きな出力振幅の確率の下界を導出し、反濃度化を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D次元格子上のランダム量子回路に対して、$n$ に対してサブ線形な深さで近似的なユニタリ $t$-デザインを達成できるか？
• RQ2 近接スピン間または長距離ゲートを用いたランダム量子回路で反濃度化を達成するために、最小の回路深さまたはサイズは何か？
• RQ3 低深さランダム回路において、異なる収束尺度（例：単項式、衝突確率）はどのように関係し、互いに同値であるか？
• RQ4 別の回路モデルを用いることで、深さ $O(\ln n \ln \ln n)$ で反濃度化を達成できるか。また、サイズと深さのトレードオフは何か？
• RQ5 長距離ランダム回路における反濃度化を達成するために必要な回路サイズの下界は何か？

主な発見

• D次元格子において、近接スピン間ゲートを用いた $\operatorname{poly}(t) \cdot n^{1/D}$ の深さの局所的ランダム回路は、単項式や反濃度化を含むすべての標準的尺度で近似的な $t$-デザインを形成する。
• 2次元格子では、深さ $O(\sqrt{n})$ で反濃度化が成立し、Google Quantum AI の実験の予想を裏付ける。
• 長距離ランダム回路では、サイズ $O(n\ln^2 n)$（深さ $O(\ln^3 n)$）で反濃度化が達成され、回路サイズに対して下界 $\Omega(n\ln n)$ が一致する。
• 代替モデルでは、深さ $O(\ln n \ln \ln n)$、サイズ $O(n\ln n \ln \ln n)$ で反濃度化が達成され、深さスケーリングの改善が示された。
• 期待値 $\mathbb{E}_{C\sim\mu}|\braket{x}{C}{0}|^2$ は $\frac{1 + \frac{1}{\operatorname{poly}(n)}}{2^n}$ であり、4次モーメントは $\frac{2}{2^n(2^n+1)}\left(1 + \frac{1}{\operatorname{poly}(n)}\right)$ である。これは、ほぼ最大エントロピーであることを確認する。
• Paley-Zygmund不等式を用いることで、$|\braket{x}{C}{0}|^2 \geq \frac{1}{2^{n+1}}$ となる確率が $1/8 - \frac{1}{\operatorname{poly}(n)}$ 以上であることが示され、強固な反濃度化が確認された。