[論文レビュー] Approximate weak amenability of Banach algebras

G. H. Esslamzadeh, Behrouz Shojaee|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、バナッハ代数における4つの一般化されたアメニタリティの概念——近似的、近似的弱、近似的循環的、および近似的 $n$-弱アメニタリティ——を導入し、それらを研究する。第二双対 $$\mathcal{A}^{**}$ が近似的弱（または $n$-弱）アメニタリティをもつならば、それ故 $$\mathcal{A}$ も同様の性質をもつことを示し、近似的 $(n+2)$-弱アメニタリティが近似的 $n$-弱アメニタリティを含意することを証明することで、近似的アメニタリティ概念の遺伝的性質に関する未解決問題を解消する。

ABSTRACT

In this paper we deal with four generalized notions of amenability which are called approximate, approximate weak, approximate cyclic and approximate $n$-weak amenability. The first two were introduced and studied by Ghahramani and Loy in [9]. We introduce the third and fourth ones and we show by means of some examples, their distinction with their classic analogs. Our main result is that under some mild conditions on a given Banach algebra $\A$, if its second dual $\A^{**}$ is $(2n-1)$-weakly [respectively approximately/ approximately weakly/ approximately $n$-weakly] amenable, then so is $\A$. Also if $\A$ is approximately $(n+2)$-weakly amenable, then it is approximately $n$-weakly amenable. Moreover we show the relationship between approximate trace extension property and approximate weak [respectively cyclic] amenability. This answers question 9.1 of [9] for approximate weak and cyclic amenability.

研究の動機と目的

• 近似的 $n$-弱アメニタリティおよび近似的循環アメニタリティという新しい近似的概念を導入・分析することで、バナッハ代数におけるアメニタリティ理論を拡張すること。
• 近似的弱および近似的循環アメニタリティの遺伝的性質を調査し、GhahramaniとLoy（2009）の質問9.1に答えること。
• 第二双対 $$\mathcal{A}^{**}$ から代数 $$\mathcal{A}$ への近似的アメニタリティの遺伝の条件を確立すること。
• 近似的トレース拡張性質と近似的弱／循環アメニタリティの関係を明確にし、Gronbaek（1993）の結果を一般化すること。

提案手法

• 古典的 $n$-弱および循環アメニタリティの一般化として、近似的 $n$-弱アメニタリティおよび近似的循環アメニタリティの概念を導入する。
• 第二双対 $$\mathcal{A}^{**}$ におけるアレンズ積を用いて、モジュール作用を分析し、コホモロジー的性質を導出する。
• $$\mathcal{A}^{**}$ が近似的弱（または $n$-弱）アメニタリティをもつならば、弱い条件下で $$\mathcal{A}$ も同様の性質を引き継ぐことを証明する。
• 近似的トレース拡張性質を用いて、双対空間内の要素のネットを構成し、それらが導来を近似的に実装することを示す。
• 特に第一コホモロジー群 $H^1(\mathcal{A}, \mathcal{X})$ を用いて、近似的導来を特徴付けるために、コホモロジー理論の技法を適用する。
• 単位化 $$\mathcal{A}^{\#}$ を用いて、バナッハ代数のアメニタリティとその商およびイデアル構造との関係を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $$\mathcal{A}^{**}$ が近似的弱アメニタリティをもつとき、どのような条件下で $$\mathcal{A}$ も近似的弱アメニタリティをもつのか？
• RQ2 近似的 $(n+2)$-弱アメニタリティは、バナッハ代数に対して近似的 $n$-弱アメニタリティを含意するか？
• RQ3 近似的トレース拡張性質は、近似的弱および循環アメニタリティを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 近似的弱および循環アメニタリティの遺伝的性質は、それらの古典的対応概念とどのように比較されるか？
• RQ5 奇数 $n$ に対して、近似的 $n$-弱アメニタリティが第二双対 $$\mathcal{A}^{**}$ から $$\mathcal{A}$ に遺伝する条件は、$n$-弱アメニタリティの文脈で確立可能か？

主な発見

• $$\mathcal{A}^{**}$ が近似的弱アメニタリティをもつならば、弱い条件下で $$\mathcal{A}$ も近似的弱アメニタリティをもつ。
• 任意の $n \geq 1$ に対して、近似的 $(n+2)$-弱アメニタリティは近似的 $n$-弱アメニタリティを含意する。これは古典的結果の一般化である。
• 奇数 $n$ に対して、$$\mathcal{A}^{**}$ が $(2n-1)$-弱アメニタリティをもつならば、$$\mathcal{A}$ は近似的 $n$-弱アメニタリティをもつ。
• 近似的トレース拡張性質は、商代数から元の代数への近似的弱アメニタリティの伝播に関して、必要かつ十分な条件である。
• 近似的循環アメニタリティは、$$\mathcal{A}^{*}$ 内のネットが導来を近似的に実装することと同値である。
• 近似的循環アメニタリティをもつが、循環アメニタリティをもたないバナッハ代数の例が存在する。これは、近似的概念の厳密性を示している。