[論文レビュー] Approximately bisimilar symbolic models for nonlinear control systems

Giordano Pola, Antoine Girard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2007

Formal Methods in Verification参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非線形制御系の近似的に双一次な記号的モデルを構築する手法を提案する。主な性質として、増分的グローバル漸近安定性（δ-ISS）を用いる。δ-ISSなラプラウンフ・関数を活用し、状態空間と入力空間を量子化することで、ユーザーが定めた誤差境界内に、元のシステムを近似する記号的モデルを構築する。状態空間が有界であれば、有限なモデルが得られる。主な貢献は、広範な非線形系クラスに対して、形式的かつ体系的な方法で有限で近似的に双一次な記号的モデルを構築することにある。

ABSTRACT

Control systems are usually modeled by differential equations describing how physical phenomena can be influenced by certain control parameters or inputs. Although these models are very powerful when dealing with physical phenomena, they are less suitable to describe software and hardware interfacing the physical world. For this reason there is a growing interest in describing control systems through symbolic models that are abstract descriptions of the continuous dynamics, where each "symbol" corresponds to an "aggregate" of states in the continuous model. Since these symbolic models are of the same nature of the models used in computer science to describe software and hardware, they provide a unified language to study problems of control in which software and hardware interact with the physical world. Furthermore the use of symbolic models enables one to leverage techniques from supervisory control and algorithms from game theory for controller synthesis purposes. In this paper we show that every incrementally globally asymptotically stable nonlinear control system is approximately equivalent (bisimilar) to a symbolic model. The approximation error is a design parameter in the construction of the symbolic model and can be rendered as small as desired. Furthermore if the state space of the control system is bounded the obtained symbolic model is finite. For digital control systems, and under the stronger assumption of incremental input-to-state stability, symbolic models can be constructed through a suitable quantization of the inputs.

研究の動機と目的

• ソフトウェアおよびハードウェアと相互作用する非線形制御系のコントローラー設計の課題に対処し、統一された形式的モデリングフレームワークを提供すること。
• 近似シミュレーションの先行研究を拡張し、記号的モデルと連続的モデルとの間で双方向の同等性を保証する近似双一次を導入すること。
• 設計可能な誤差境界内でシステムの動作を保持する有限記号的モデルを体系的に構築する方法を提供すること。
• 特に状態空間が有界である場合に、記号的モデルが有限となる条件を確立すること。
• 振り子制御系を用いた実用的応用と正しさの確認を通じて、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 本手法は、近似的にグローバル漸近安定性（δ-ISS）の概念に依存しており、初期状態が近く、入力差が有界である場合に、軌道が近いまま保たれることを保証する。
• 安定性条件の検証と、状態および入力の変動に対するシステムの感度の定量化のために、δ-ISSラプラウンフ関数を構築する。
• 状態空間をサイズηのセルに分割し、入力空間を解像度μで量子化することで、有限の記号的状態と入力の集合を形成する。
• 記号的モデルにおける遷移関係は、時間ステップτの間、元のシステムの軌道を数値的に積分して到達可能な状態を特定することで定義される。
• 比較補題を用いて近似誤差を上限付けし、記号的モデルがユーザーが定めた精度ε内での元のシステムと近似的に双一次であることを保証する。
• 本構成により、元のシステムにおける任意の初期状態と入力に対して、対応する記号的モデル内の状態と入力が存在し、それらの軌道がεの距離内に保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての増分的グローバル漸近安定な非線形制御系は、ユーザーが定めた誤差境界を持つ有限記号的モデルで近似可能か？
• RQ2 特に状態空間が有界である場合に、記号的モデルを有限化できる条件は何か？
• RQ3 連続的制御系とその記号的抽象化との間で、どのように近似双一次を達成できるか？
• RQ4 本手法は、区分的定数入力を有するデジタル制御系に適用可能か？
• RQ5 システムのδ-ISS性質と、有限で近似的に双一次な記号的モデルの存在との関係は何か？

主な発見

• 増分的グローバル漸近安定性を満たす任意の非線形制御系は、設計パrameterとしての近似誤差を持つ近似的に双一次な記号的モデルを有し、その誤差を任意に小さくできる。
• 状態空間が有界であれば、得られる記号的モデルは有限となり、アルゴリズム的検証とコントローラー設計が可能になる。
• 増分的入力-状態安定性を満たすデジタル制御系については、入力空間の量子化により記号的モデルを構築でき、有限の抽象化が保証される。
• 振り子のケーススタディにおいて、ε = 0.25、τ = 2、μ = 1.5×10⁻⁴、η = 0.4の条件下で、近似条件が満たされた。これにより、本手法の実用的妥当性が確認された。
• 振り子の記号的モデルは、5×5のセルからなる状態空間と、10,000個の量子化された入力値からなる入力集合を有しており、実用的なスケーラビリティが示された。
• 本手法により、記号的モデル上で設計された任意のコントローラーは、元のシステム用のコントローラーに精錬可能であり、誤差境界内での動作同等性が保たれる。