[論文レビュー] Approximately Envy-Free Budget-Feasible Allocation

Jiarui Gan, Bo Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2021

Game Theory and Voting Systems参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、予算制約下で同一の加法的評価を持つエージェントに対して、1/2-近似の envy-free な割り当て（EF1）を多項式時間で計算するアルゴリズムを提示する。仮想予算と実行可能構成の導入により、効率的かつ envy-free に似た割り当てを可能にし、先行研究に比べて顕著に改善された近似比を達成する。

ABSTRACT

In the budget-feasible allocation problem, a set of items with varied sizes and values are to be allocated to a group of agents. Each agent has a budget constraint on the total size of items she can receive. The goal is to compute a feasible allocation that is envy-free (EF), in which the agents do not envy each other for the items they receive, nor do they envy a charity, who is endowed with all the unallocated items. Since EF allocations barely exist even without budget constraints, we are interested in the relaxed notion of envy-freeness up to one item (EF1). The computation of both exact and approximate EF1 allocations remains largely open, despite a recent effort by Wu et al. (IJCAI 2021) in showing that any budget-feasible allocation that maximizes the Nash Social Welfare (NSW) is 1/4-approximate EF1. In this paper, we move one step forward by showing that for agents with identical additive valuations, a 1/2-approximate EF1 allocation can be computed in polynomial time. For the uniform-budget and two-agent cases, we propose efficient algorithms for computing an exact EF1 allocation. We also consider the large budget setting, i.e., when the item sizes are infinitesimal compared with the agents' budgets, and show that both the NSW maximizing allocation and the allocation our polynomial-time algorithm computes have an approximation close to 1 regarding EF1.

研究の動機と目的

• 予算制約下での近似 envy-free 割り当てを計算するための効率的アルゴリズムの欠如に対処すること。
• ナッシュ社会的福祉（NSW）最大化による1/4-近似のEF1比を改善すること。
• 同一評価を持つエージェントに対して、より良い近似比を保証する多項式時間アルゴリズムを設計すること。
• 2エージェントまたは均一な予算といった特殊ケースにおける正確なEF1計算を検討すること。
• 大予算極限におけるNSW最大化アルゴリズムと提案アルゴリズムの性能を調査すること。

提案手法

• エージェントの予算制約を満たすアイテムバンドルの集合を表す「実行可能構成」の概念を導入する。
• 実際のエージェント予算より小さく保たれるように段階的に増加させる仮想予算を採用し、異なる実予算を持つエージェント間でのバンドル交換を可能にする。
• 効率性を維持するために、価値/サイズ比（密度）が最も高いアイテムを優先する貪欲な割り当て戦略を採用する。
• サイズ制約を満たす knapsack スタイルの選択プロセスを適用し、低密度アイテムを削除することで予算適合性を保証する。
• 近似保証を証明するために、ナッシュ社会的福祉に基づくポテンシャル関数の議論を用いる。
• 近似比1/2を確立するために、アイテム部分集合と価値比較を含む背理法による証明を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一の加法的評価を持つ予算適合割り当てにおいて、1/4を上回る近似比のEF1を達成できるか？
• RQ2 予算制約下で1/2-近似のEF1割り当てを計算する多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 2エージェントまたは均一な予算といった特殊ケースにおいて、正確なEF1割り当てを効率的に計算できるか？
• RQ4 大予算極限において、NSW最大化アルゴリズムと提案アルゴリズムの性能はどのように振る舞うか？
• RQ5 予算制約下の公平割り当てにおいて、仮想予算と実行可能構成を導入することの意味は何か？

主な発見

• 同一の加法的評価を持つエージェントに対して、1/2-近似のEF1割り当てを多項式時間で計算可能である。
• 2エージェントおよび均一予算のケースでは、正確なEF1割り当てを効率的に計算できる。
• 大予算の状態では、NSW最大化割り当てと提案アルゴリズムの両方とも、EF1の近似比が1に近づく。
• 提案アルゴリズムは、先行研究のNSW最大化による1/4-近似保証を上回る性能を示す。
• 仮想予算と実行可能構成の使用により、実予算が異なるエージェント間でも効果的なバンドル交換が可能になる。
• 理論的分析により、与えられた仮定下でアルゴリズムの近似比がタイトであることが確認された。