[論文レビュー] Approximating a group by its solvable quotients

Khalid Bou-Rabee|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、可解残留有限性成長を通じて、多循環群がほとんどニルポテンツであることの特徴づけを確立し、このような群が、かつてニルポテンツであることと同値であることを示している。さらに、表面群が超多項式的だが指数的でないニルポテンツ残留有限性成長を示し、語長に基づく非自明な要素の下部中央系列の深さに対する下界を得ている。

ABSTRACT

The solvable Farb growth of a group quantifies how well-approximated the group is by its finite solvable quotients. In this note we present a new characterization of polycyclic groups which are virtually nilpotent. That is, we show that a group has solvable Farb growth which is at most polynomial in $\log(n)$ if and only if the group is polycyclic and virtually nilpotent. We also give new results concerning approximating oriented surface groups by nilpotent quotients. As a consequence of this, we prove that a natural number $C$ exists so that any nontrivial element of the $Ck$th term of the lower central series of a finitely generated oriented surface group must have word length at least $k$. Here $C$ depends only on the choice of generating set. Finally, we give some results giving new lower bounds for the solvable Farb growth of some metabelian groups (including the Lamplighter groups).

研究の動機と目的

• 多循環群がほとんどニルポテンツであることを、その可解残留有限性成長を用いて特徴づけること。
• 向き付けられた表面の基本群におけるニルポテンツ残留有限性成長の漸近的成長を特定すること。
• メタアベル群、特にランプライト群を含む、正規残留有限性成長に対する新たな下界を確立すること。
• 広範な群のクラスにおいて、多項式的残留有限性成長とほとんどニルポテンツ性との関係に関する予想を解決すること。
• 語長に基づく、表面群における非自明な要素の下部中央系列の深さに対する定量的下界を提供すること。

提案手法

• 語長 $ n $ 以内の非自明な要素を検出するために必要な有限可解商の最小サイズを測る、可解残留有限性成長関数 $ F^{ ext{sol}}_{ ext{sol}}(n) $ を用いる。
• 群の残留性質に関する J. S. Wilson の結果を応用して、有限可解商の構造を分析する。
• 群 $ \text{PSL}_2(\bar{\bbZ}[i]) $ の構造論を用いて、表面群におけるニルポテンツ残留有限性成長の上界を確立する。
• $ \bbZ/p\bbZ $ および $ \bbZ $ 上の行列を用いた線形代数的構成を用い、核内に非自明な要素を生成し、それが語長が大きくならない限り有限商で生き残らないように保証する。
• $ \bbZ^{2m} $ および $ \bbZ^m $ における三角不等式およびノルム推定を用いて、有界な球内に非自明な核要素の存在を示す。
• $ \bbZ/p\bbZ \wr \bbZ $ および $ \bbZ \wr \bbZ $ の wreath 積に明示的な要素を構成し、それらが小さな有限可解商では検出されないことを示し、$ F_{\Gamma}(n) $ の下界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解残留有限性成長が $ \log(n) $ に関して多項式的であるような群は、どのような条件下で成立するか？
• RQ2 可解残留有限性成長が $ \log(n) $ に関して多項式的である群は、必ずしもほとんどニルポテンツであるか？
• RQ3 向き付けられた表面の基本群におけるニルポテンツ残留有限性成長の漸近的成長率は何か？
• RQ4 メタアベル群（例えばランプライト群）の正規残留有限性成長に対して、新たな下界を確立できるか？
• RQ5 表面群における非自明な要素の下部中央系列の深さは、その語長とどのように関係するか？

主な発見

• 有限生成群が可解残留有限性成長を $ \log(n) $ に関して多項式的にもつことと、可解かつほとんどニルポテンツであることとは同値である。
• 向き付けられた表面の基本群に対して、ニルポテンツ残留有限性成長は $ 2^{\sqrt{n}} \lesssim F^{\text{nil}}_{\Gamma}(n) \lesssim 2^n $ を満たし、超多項式的だが指数的でない成長を示している。
• 生成集合にのみ依存する正の定数 $ C > 0 $ が存在し、表面群の任意の非自明な要素 $ \gamma $ に対して $ \gamma \notin \Gamma_{C\|\gamma\|_{\mathcal{X}}} $ が成り立つ。これは、$ \gamma $ が下部中央系列の $ C\|\gamma\|_{\mathcal{X}} $ 項目より外にあることを意味する。
• ランプライト群 $ \bbZ/p\bbZ \wr \bbZ $ に対して、正規残留有限性成長は $ F_{\Gamma}(n) \gtrsim \sqrt{n} $ を満たし、非自明な下界を示している。
• wreath 積 $ \bbZ \wr \bbZ $ に対して、正規残留有限性成長は $ F_{\Gamma}(n) \gtrsim n^{1/4} $ を満たし、以前に知られていたものより強い下界を示している。
• 本論文は、有限指数の残留可解部分群をもつ群のクラスにおいて、$ \log(n) $ における多項式的残留有限性成長がほとんどニルポテンツ性を特徴づけることを示し、予想を解決した。