[論文レビュー] Approximating branchwidth on parametric extensions of planarity

Dimitrios M. Thilikos, Sebastian Wiederrecht|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、射影平面グラフおよびトーラスグラフをマイナーとして含まないグラフにおける分岐幅に対して、(1+ε)-近似アルゴリズムを提示する。この手法は、トーロが平面である構造的分解に依存しており、分岐幅が有効に近似可能であることを示している。具体的には、有界な接着性と平面的成分を備えた木分解を用いることで、O(n³ + f(1/ε)·n) の実行時間でEPTASが達成可能である。

ABSTRACT

The branchwidth of a graph has been introduced by Roberson and Seymour as a measure of the tree-decomposability of a graph, alternative to treewidth. Branchwidth is polynomially computable on planar graphs by the celebrated ``Ratcatcher'' algorithm of Seymour and Thomas. We explore how this algorithm can be extended to minor-closed graph classes beyond planar graphs, as follows: Let $H_{1}$ be a graph embeddable in the torus and $H_{2}$ be a graph embeddable in the projective plane. We prove that every $\{H_{1},H_{2}\}$-minor free graph $G$ contains a subgraph $G'$ whose branchwidth differs from that of $G$ by a constant depending only on $H_1$ and $H_2$. Moreover, the graph $G'$ admits a tree decomposition where all torsos are planar. This decomposition allows for a constant-additive approximation of branchwidth: For $\{H_{1},H_{2}\}$-minor free graphs, there is a constant $c$ (depending on $H_{1}$ and $H_{2}$) and an $\mathcal{O}(|V(G)|^{3})$-time algorithm that, given a graph $G$, outputs a value $b$ such that the branchwidth of $G$ is between $b$ and $b+c$.

研究の動機と目的

• 分岐幅に対するラットキャッチャー法を平面グラフからマイナー閉じたグラフクラスへ拡張すること。
• 単一交差マイナー自由グラフよりも一般なグラフクラスにおける分岐幅の多項式時間アルゴリズムの欠如を解消すること。
• 射影平面グラフおよびトーラスグラフをマイナーとして含まないグラフにおける分岐幅の効率的近似スキームを設計すること。
• 分岐幅の動的計画法を可能にする、トーロが平面である構造的分解を確立すること。
• このようなグラフの分岐幅が、任意の(1+ε)要因内で時間O(n³ + f(1/ε)·n) で近似可能であることを証明すること。

提案手法

• グラフマイナー構造理論、特にマイナー閉じた族のグローバル構造定理を用いる。
• 局所構造定理を適用して、有界な接着性と平面的トーロを持つ成分にグラフを分解する。
• トゥルーズと社会的構造を用いて、局所的連結性を分析し、埋め込みグラフにおけるフラットなウォールを定義する。
• 各トーロが小さい（|β(t)| ≤ g(k)）か、または有界な幅と幅のΣ分解を許容する木分解を構築する。
• バーテックスフリー埋め込みとフラット3-ウォールの概念を用いて、分解における構造的制御を保証する。
• 定理6.5を適用して、GₜとGₜ−Xₜの間の分岐幅の差を評価し、最終的な近似保証を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラットキャッチャー法の分岐幅への適用を、平面グラフからマイナー閉じた族へ拡張可能か？
• RQ2 射影平面およびトーラスグラフをマイナーとして含まないグラフにおいて、効率的な分岐幅近似を可能にする構造的性質は何か？
• RQ3 H₀が射影平面的でH₁がトーラス的である{H₀,H₁}-マイナー自由グラフに対して、平面的トーロと有界な接着性を持つ木分解が存在するか？
• RQ4 このような分解が、効率的な実行時間で(1+ε)-近似スキームをサポートできるか？
• RQ5 このようなグラフクラスにおいて、グラフとその平面的トーロを有する部分グラフの間の分岐幅の最大差は何か？

主な発見

• 任意のε > 0に対して、{H₀,H₁}-マイナー自由グラフにおける分岐幅に対して(1+ε)-近似アルゴリズムが存在し、実行時間はO(n³ + f(1/ε)·n)である。
• このアルゴリズムはEPTASであり、f(1/ε)は除外マイナーH₀およびH₁にのみ依存する。
• 任意の{H₀,H₁}-マイナー自由グラフGに対して、|bw(G) − bw(G′)| ≤ f(k)を満たす部分グラフG′が存在する。ここでf(k)は除外マイナーに依存する関数である。
• 部分グラフG′は、すべてのトーロが平面的で、接着性がg(k)で有界な木分解を許容する。
• 分解における各トーロの分岐幅は、完全なトーロの分岐幅と最大f(k) = 2g(k)(g(k)−1) + g(k)の差でしかなく、近似誤差が有界であることを保証する。
• 構造的結果は、分解内にフラット3-ウォールとバーテックスフリー埋め込みの存在に依存しており、これにより幅の有界性制御が可能となる。