[論文レビュー] Approximating certain cell-like maps by homeomorphisms

Robert D. Edwards|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2016

Growth Hormone and Insulin-like Growth Factors参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、次元 $ \geq 5 $ の多様体 $ M $ から ANR $ Q $ への適切な細胞的写像 $ f: M \to Q $ が、$ Q $ が非交差円板性質を有するときかつそのときに限り、ホメオモルフィズムにより近似可能であることを確立する。証明は、0次元の分解に対する新規な収縮技法を用い、反復的精錬を通じて近似ホメオモルフィズムを構成する。この手法により、一般化多様体の中での高次元多様体の識別に向けた決定的基準が得られる。

ABSTRACT

Given a proper map f : M $ ightarrow$ Q, having cell-like point-inverses, from a manifold-without-boundary M onto an ANR Q, it is a much-studied problem to find when f is approximable by homeomorphisms, i.e., when the decomposition of M induced by f is shrinkable (in the sense of Bing). If dimension M $\geq$ 5, J. W. Cannon's recent work focuses attention on whether Q has the disjoint disc property (which is: Any two maps of a 2-disc into Q can be homotoped by an arbitrarily small amount to have disjoint images; this is clearly a necessary condition for Q to be a manifold, in this dimension range). This paper establishes that such an f is approximable by homeomorphisms whenever dimension M $\geq$ 5 and Q has the disjoint disc property. As a corollary, one obtains that given an arbitrary map f : M $ ightarrow$ Q as above, the stabilized map f $ imes$ id($\mathbb{R}^{2}$) : M $ imes$ $\mathbb{R}^{2}$ -> Q $ imes$ $\mathbb{R}^{2}$ is approximable by homeomorphisms. The proof of the theorem is different from the proofs of the special cases in the earlier work of myself and Cannon, and it is quite self-contained. This work provides an alternative proof of L. Siebenmann's Approximation Theorem, which is the case where Q is given to be a manifold.

研究の動機と目的

• 次元 $ \geq 5 $ の多様体 $ M $ からANR $ Q $ への適切な細胞的写像 $ f: M \to Q $ がホメオモルフィズムにより近似可能となる条件を同定すること。
• このような近似のための必要十分条件として、$ Q $ が非交差円板性質を有することを確立すること。
• $ Q $ が多様体である場合にL. シーベンマンの結果を一般化し、再証明する、自己完結的な近似定理の証明を提供すること。
• 分解理論を用いて、解ける一般化多様体の中での高次元多様体の識別という長年の問題を解決すること。
• 非退化点逆像の零次元集合に対する反復的収縮技法を用いて、近似定理の新たな独立的証明を提供すること。

提案手法

• ホメオモルフィズムによる近似可能性の検証に、ピンクの収縮基準を基礎的道具として用いる。
• 非退化性集合の次元が0で、$ M $ における余次元が $ \geq 3 $ であるような分解に、0次元収縮定理を適用する。
• チューブ型構成を用いて、一般の場合を、非退化点逆像の可算な零集合に還元する。
• 各段階 $ i $ において、コンパクト部分集合 $ P^i_j \subset P^i $ 上で写像を精錬する反復的構成プロセスを用いる。この際、余次元 $ \geq 3 $ を保ち、近似を制御する。
• 主要近似（majorant-close approximation）を用いて収束を制御し、極限写像がホメオモルフィズムであることを保証する。
• 非退化性集合が0次元で、余次元 $ \geq 3 $ である細胞的写像は、$ Q $ の有限次元性の仮定がなくても収縮可能であるという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ \geq 5 $ の多様体 $ M $ からANR $ Q $ への適切な細胞的写像 $ f: M \to Q $ がホメオモルフィズムにより近似可能となる条件は何か？
• RQ2 このような近似において、$ Q $ が非交差円板性質を有することは必要かつ十分か？
• RQ3 シーベンマンの近似定理のような先行結果に依存せずに、近似結果を証明できるか？
• RQ4 細胞的写像によって誘導される多様体の分解を、余次元と近似制御を保ちながら反復的に収縮する方法は何か？
• RQ5 余次元 $ \geq 3 $ の条件が、非退化点逆像の収縮可能性に果たす役割は何か？

主な発見

• 次元 $ \geq 5 $ の多様体 $ M $ からANR $ Q $ への適切な細胞的写像 $ f: M \to Q $ は、$ Q $ が非交差円板性質を有するとき、ホメオモルフィズムにより近似可能である。
• このような写像の近似において、非交差円板性質は必要かつ十分条件である。
• 安定化写像 $ f \times \text{id}(\mathbb{R}^2): M \times \mathbb{R}^2 \to Q \times \mathbb{R}^2 $ は、$ Q $ が多様体でない場合でもホメオモルフィズムにより近似可能である。
• 証明は自己完結的であり、L. シーベンマンの近似定理の別証明を提供する。
• 0次元収縮定理は、$ M $ の次元制限がなく、非退化性集合の像が $ Q $ に稠密であっても成立する。
• 余次元が2に低下する場合には反例が存在し、余次元 $ \geq 3 $ の条件が本質的であることが示される。