[論文レビュー] Approximating classifying spaces by smooth projective varieties

Torsten Ekedahl|ArXiv.org|May 11, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、代数的 torsor を用いて、再帰的代数的群の分類空間を、与えられたコhomological次数まで近似する滑らかで射影的な多様体を構成する。主な結果は、非特別線型群に対して、滑らかで射影的な基底上に代数的 $G$-torsor が存在し、その完成 Grothendieck 璏の類が $[P] = [G][X]$ を満たさないことを示しており、$̂{K}_0$ における標準的関係の失敗を示している。これは Grothendieck 璏の構造に関する疑問を解決し、群の特別性に対する位相的障害を明らかにする。

ABSTRACT

We prove that for every reductive algebraic group $H$ with centre of positive dimension and every integer $K$ there is a smooth and projective variety $X$ and an algebraic $H$-torsor $P o X$ such that the classifying map $X o \Bclass H$ induces an isomorphism in cohomology in degrees $\le K$. This is then applied to show that if $G$ is a connected non-special group there is a $G$-torsor $P o X$ for which we do not have $[P]=[G][X]$ in the (completion of the) Grothendieck ring of varieties.

研究の動機と目的

• 有限群を超える再帰的群への、Atiyah および Hirzebruch の代数的 torsor を用いた分類空間の近似の拡張。
• 代数的 $G$-torsor が滑らかで射影的な多様体上に存在するとき、完成 Grothendieck 璏 $̂{K}_0$ 内で $[P] = [G][X]$ が常に成り立つかどうかという疑問を解決すること。
• 非特別な線型代数的群に対して、関連する $G/B$-ファイブレーションのコホモロジーが、基底とフラッグ多様体のコホモロジーの積と加法的に同型でないような torsor が存在することを示すこと。
• 滑らかで射影的な多様体による純粋コホモロジーの近似を通じて、$̂{B}G$ の有理コホモロジーの純粋性の幾何的説明を提供すること。
• 文献 [Ek09a] に由来するコホモロジー不変量を用いて、$̂{K}_0$ 内での $[P] = [G][X]$ の失敗が単なる数値的失敗ではなく、無限大の位数を有することを示すこと。

提案手法

• 滑らかで射影的な多様体である Grassmannians $\mathrm{Gr}(k,n+k)$ を用いて、$\mathrm{BGL}_k(\mathbb{C})$ のホモトピー的近似を実行し、これに代数的 $\mathrm{GL}_k(\mathbb{C})$-torsor を持ち込む。
• 不安定点の Kempf の帰納的ストラティフィケーションを応用し、超曲面断片のコホモロジーを制御し、不安定な寄与を差し引く。
• Poincaré双対性と $G$-不変形式の構造を用いて、基底および torsor のコホモロジーを分析し、固定された $K$ までの一意の次数付き同型を焦点に当てる。
• 任意の中心が正次元を持つ再帰的群 $H$ に対して、滑らかで射影的な多様体 $X$ と $H$-torsor $P \to X$ を構成し、$X \to \mathrm{B}H$ が次数 $K$ までにコホモロジー同型を誘導することを保証する。
• 滑らかで射影的な多様体のコホモロジーが、次数 $i$ において重み $i$ の純粋性を持つことを利用し、スペクトル系列 $H^i(\mathrm{B}G,\mathbb{Q}) \otimes H^j(G/B,\mathbb{Q}) \Rightarrow H^{i+j}(\mathrm{B}B,\mathbb{Q})$ を用いて純粋性を導出する。
• 文献 [Ek09a] に由来するコホモロジー不変量を活用し、滑らかでコンパクトな $X$ の $H^*(X,\mathbb{Z})$ の同型類を検出することで、$̂{K}_0$ 内での $[P] = [G][X]$ の失敗を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心が正次元を持つ再帰的群 $H$ の分類空間 $\mathrm{B}H$ は、固定された次数 $K$ までに滑らかで射影的な多様体によってコホモロジー的に近似可能か？
• RQ2 非特別な群 $G$ に対して、滑らかで射影的な多様体上に存在する代数的 $G$-torsor について、完成 Grothendieck 璏 $̂{K}_0$ 内で $[P] = [G][X]$ が常に成り立つか？
• RQ3 代数的群の特別性に対する位相的障害は、多様体の Grothendieck 璏を用いて検出可能か？
• RQ4 有理コホモロジーの純粋性は、純粋コホモロジーを持つ滑らかで射影的な多様体による近似を通じて幾何的に説明可能か？
• RQ5 $[P] = [G][X]$ が $̂{K}_0$ 内で失敗することは、差 $[P] - [G][X]$ が無限大の位数を持つことを示唆するか？

主な発見

• 任意の中心が正次元を持つ再帰的群 $H$ と任意の整数 $K$ に対して、滑らかで射影的な多様体 $X$ と $H$-torsor $P \to X$ が存在し、その分類写像 $X \to \mathrm{B}H$ が次数 $K$ までにコホモロジー同型を誘導する。
• 近似は、$n \to \infty$ のとき $\mathrm{BGL}_k(\mathbb{C})$ にホモトピー的に近づく Grassmannians $\mathrm{Gr}(k,n+k)$ 上の代数的 torsor を用いて達成され、torsor 構造は代数的に保たれる。
• 任意の連結で非特別な線型代数的群 $G$ に対して、$X$ が滑らかで射影的であるような $G$-torsor $P \to X$ が存在し、$[P] \neq [G][X]$ が $̂{K}_0(\mathrm{Spc}_{\mathbb{C}})$ 内で成り立つ。これは Grothendieck 璏における標準的関係の失敗を証明する。
• $[P] - [G][X]$ の差は、$\u0302{K}_0$ 内で無限大の位数を持つ。これは、有理コホモロジーの同型が成立しない $G/B$-ファイブレーションを検出できる、値が torsion-free なアーベル群への加法的不変量によって示される。
• $X$ 上の $G/B$-ファイブレーションのコホモロジーは、$G/B \times X$ のコホモロジーと加法的に同型でない。これは、この文脈における分割原理の失敗を示唆する。
• $H^*(\mathrm{B}G,\mathbb{Q})$ の純粋性は、幾何的に説明される：近似多様体が純粋コホモロジーを持つこと、および重みの理由によるスペクトル系列の退化が、$̂{B}G$ のコホモロジーが純粋性を引き継ぐことを示唆する。