[論文レビュー] Approximating Directed Steiner Problems via Tree Embedding

Rothvoß, Thomas|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 39被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、流体ベースの線形計画法（LP）緩和のO(ℓ)-ラウンドLasserre階層強化を用いて、有向スティーナー木（DST）問題に対する多項式時間|X|ε-近似解法を提示する。この手法により、ℓレベルの非巡回グラフにおけるO(ℓ log |X|)の整数性ギャップが達成され、時間計算量n^{O(log|X|)}でO(log³|X|)の近似が得られる。これは、確率的解析を伴う新しいサンプリングに基づくラウンド方式により、最高の既知の貪欲法と同等の性能を達成する。

ABSTRACT

Directed Steiner problems are fundamental problems in Combinatorial Optimization and Theoretical Computer Science. An important problem in this genre is the k-edge connected directed Steiner tree (k-DST) problem. In this problem, we are given a directed graph G on n vertices with edge-costs, a root vertex r, a set of h terminals T and an integer k. The goal is to find a min-cost subgraph H subseteq G that connects r to each terminal t in T by k edge-disjoint r, t-paths. This problem includes as special cases the well-known directed Steiner tree (DST) problem (the case k=1) and the group Steiner tree (GST) problem. Despite having been studied and mentioned many times in literature, e.g., by Feldman et al. [SODA'09, JCSS'12], by Cheriyan et al. [SODA'12, TALG'14], by Laekhanukit [SODA'14] and in a survey by Kortsarz and Nutov [Handbook of Approximation Algorithms and Metaheuristics], there was no known non-trivial approximation algorithm for k-DST for k >= 2 even in a special case that an input graph is directed acyclic and has a constant number of layers. If an input graph is not acyclic, the complexity status of k-DST is not known even for a very strict special case that k=2 and h=2. In this paper, we make a progress toward developing a non-trivial approximation algorithm for k-DST. We present an O(D*k^{D-1}*log(n))-approximation algorithm for k-DST on directed acyclic graphs (DAGs) with D layers, which can be extended to a special case of k-DST on "general graphs" when an instance has a D-shallow optimal solution, i.e., there exist k edge-disjoint r, t-paths, each of length at most D, for every terminal t in T. For the case k=1 (DST), our algorithm yields an approximation ratio of O(D*log(h)), thus implying an O(log^3(h))-approximation algorithm for DST that runs in quasi-polynomial-time (due to the height-reduction of Zelikovsky [Algorithmica'97]). Our algorithm is based on an LP-formulation that allows us to embed a solution to a tree-instance of GST, which does not preserve connectivity. We show, however, that one can randomly extract a solution of k-DST from the tree-instance of GST. Our algorithm is almost tight when k and D are constants since the case that k=1 and D=3 is NP-hard to approximate to within a factor of O(log(h)), and our algorithm archives the same approximation ratio for this special case. We also remark that the k^{1/4-epsilon}-hardness instance of k-DST is a DAG with 6 layers, and our algorithm gives O(k^5*log(n))-approximation for this special case. Consequently, as our algorithm works for general graphs, we obtain an O(D*k^{D-1}*log(n))-approximation algorithm for a D-shallow instance of the k edge-connected directed Steiner subgraph problem, where we wish to connect every pair of terminals by k edgedisjoint paths.

研究の動機と目的

• 有向スティーナー木（DST）問題における自然なLP緩和の整数性ギャップが、5レベルでもΩ(√|X|)に達することを是正すること。
• Lasserre階層のようなより強いLP/SDP階層が、このギャップを顕著に縮小し、より良い近似保証をもたらすかどうかを調査すること。
• CharikarらのO(log³|X|)近似を含む、最高の既知の貪欲法と同等またはそれを上回る多項式時間近似アルゴリズムをDSTに対して提供すること。
• O(ℓ)-ラウンドLasserre強化が、DSTの重要な構造的設定であるℓレベル非巡回グラフにおいてO(ℓ log |X|)の整数性ギャップをもたらすことを示すこと。
• Lasserre緩和と効果的なラウンドの間の関係を、解の凸結合表現を活用して確立すること。

提案手法

• 経路Pに対する変数yPと辺容量に対する変数y{e}を用いた、DSTの流体ベースのLP緩和を用いる。
• O(ℓ)-ラウンドLasserre階層を適用してLPを強化し、サイズ≤ℓの集合における整数解の凸結合である解Yを生成する。
• Lasserre分解定理とLP制約を用いて、経路変数yPが、Pが有効なr-s経路である場合にかつその場合に限りyP = 1を満たすことを証明する。
• 各経路TをyPに比例する確率で独立にサンプリングする確率的ラウンド方式を設計し、終端接続性の期待値E[Z] = 1を保証する。
• 各ノードあたりのサンプル経路数の期待値をO(n)、各サンプルあたりのLasserreクエリ数をO(n²)に制限し、多項式時間のオракルアクセスを保証する。
• Janson型不等式と条件付き期待値の境界を用いて、Zが端末sをカバーする確率Pr[Z ≥ 1] ≥ 1/(ℓ + 1)を示し、定数の接続確率を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 O(ℓ)-ラウンドLasserre階層は、ℓレベル非巡回グラフにおけるDSTの自然なLP緩和の整数性ギャップを縮小できるか？
• RQ2 Lasserre階層は、DSTに対する多項式時間近似アルゴリズムを可能にし、最高の既知の貪欲法と同等の近似比を達成できるか？
• RQ3 Lasserreベースの経路サンプリング方式における端末の期待接続確率は何か？また、これは定数以下に下界され得るか？
• RQ4 分解定理依存の観点から、Sherali-AdamsやLovász-Schrijverのような弱い階層よりもLasserre階層が厳密に強いと言えるか？
• RQ5 指数的変数数を持つにもかかわらず、個々のLasserreエントリyPを返す多項式時間オラクルが、アルゴリズムの効率的実装に利用可能か？

主な発見

• DSTの流体ベースLPに対するO(ℓ)-ラウンドLasserre強化は、ℓレベル非巡回グラフにおいてO(ℓ log |X|)の整数性ギャップを達成する。
• 任意の定数ε > 0に対して、ℓ = log|X|と設定することで、多項式時間|X|ε-近似アルゴリズムが得られる。
• 時間計算量n^{O(log|X|)}でO(log³|X|)の近似が達成され、Charikarらの貪欲法による最高の時間-近似トレードオフと一致する。
• 確率的ラウンド方式により、各端末は確率少なくとも1/(ℓ + 1)で接続され、解の期待コストはLP値のO(ℓ log |X|)倍である。
• Lasserreクエリ数と実行時間の期待値は、すべてのパス変数yPに対するオラクルアクセスを仮定すると、nに関して多項式的に保証される。
• 本結果はLasserre分解定理に強く依存しており、Sherali-Adamsのような弱い階層では成り立たないため、性能の分離の可能性を示唆する。