[論文レビュー] Approximating Dominating Set on Intersection Graphs of Rectangles and L-frames

Sayan Bandyapadhyay, Anil Maheshwari+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、対角線にアンカーポイントを持つ長方形およびL字フレームの交差グラフにおける最小支配集合（MDS）問題に対して、ローカルサーチに基づくPTASを用いた(2+ε)-近似アルゴリズムを提示する。主な貢献は、この非自明な幾何的交差グラフの部分クラスに対する最初の定数倍近似アルゴリズムであり、従来、部分対数近似が得られていなかったアンカーポイント付き長方形に関する未解決問題を解決している。

ABSTRACT

We consider the Minimum Dominating Set (MDS) problem on the intersection graphs of geometric objects. Even for simple and widely-used geometric objects such as rectangles, no sub-logarithmic approximation is known for the problem and (perhaps surprisingly) the problem is NP-hard even when all the rectangles are "anchored" at a diagonal line with slope -1 (Pandit, CCCG 2017). In this paper, we first show that for any $\\epsilon>0$, there exists a $(2+\\epsilon)$-approximation algorithm for the MDS problem on "diagonal-anchored" rectangles, providing the first $O(1)$-approximation for the problem on a non-trivial subclass of rectangles. It is not hard to see that the MDS problem on "diagonal-anchored" rectangles is the same as the MDS problem on "diagonal-anchored" L-frames: the union of a vertical and a horizontal line segment that share an endpoint. As such, we also obtain a $(2+\\epsilon)$-approximation for the problem with "diagonal-anchored" L-frames. On the other hand, we show that the problem is APX-hard in case the input L-frames intersect the diagonal, or the horizontal segments of the L-frames intersect a vertical line. However, as we show, the problem is linear-time solvable in case the L-frames intersect a vertical as well as a horizontal line. Finally, we consider the MDS problem in the so-called "edge intersection model" and obtain a number of results, answering two questions posed by Mehrabi (WAOA 2017).

研究の動機と目的

• 対角線にアンカーポイントを持つ長方形の交差グラフにおける最小支配集合（MDS）問題に対する定数倍近似を確立すること。これは、従来、部分対数近似が得られていなかった非自明な部分クラスである。
• MDSの近似を対角線にアンカーポイントを持つL字フレームに拡張し、この設定下で長方形とL字フレームのバージョンが同程度の計算複雑性を持つことを示すこと。
• 対角線または垂直線と交差するL字フレームにおけるMDSの計算複雑性を調査し、特定の構成でAPX-hardであることを確立すること。
• L字フレームの辺交差モデルに関する未解決問題を解消すること。特に、近似と硬さのギャップに関するものである。

提案手法

• 対角線の一方側に配置された対角線にアンカーポイントを持つ長方形に対して、ローカルサーチ技術を用いた(2+ε)-近似アルゴリズムを設計し、PTASを達成する。
• 問題を、対角線の一方側にアンカーポイントを持つ長方形に関する2つの部分問題に還元し、それぞれをローカルサーチによって解けるようにする。
• ローカルサーチアルゴリズムの解析を可能にするために、平面的二部グラフ表現を構築し、幾何的ピアシングの影響を受けるがPTASの保証を達成できるようにする。
• 長方形とL字フレームの交差グラフが同一であることを示すことで、対角線にアンカーポイントを持つ長方形とL字フレームのMDSが等価であることを証明する。
• 頂点被覆問題からの還元を用いて、対角線または垂直線と交差するL字フレームにおけるMDSがAPX-hardであることを証明し、近似不能性を確立する。
• 辺支配集合問題からのギャップを誘導する還元を構築し、辺交差モデルにおいて定数倍の近似不能性ギャップ（約1.1377）を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MDS問題がNP困難であるにもかかわらず、対角線にアンカーポイントを持つ長方形に対して定数倍近似が達成可能か？
• RQ2 対角線にアンカーポイントを持つL字フレームにおけるMDS問題の計算複雑性は、対角線にアンカーポイントを持つ長方形の問題と同等か？
• RQ3 L字フレームが対角線と交差する場合、またはその水平部分が垂直線と交差する場合、MDS問題はAPX-hardか？
• RQ4 垂直線と水平線の両方と交差するL字フレームにおけるMDSの最良の可能な近似比は何か？
• RQ5 L字フレーム交差グラフの辺交差モデルにおいて、定数倍の近似不能性ギャップを確立できるか？

主な発見

• 対角線にアンカーポイントを持つ長方形におけるMDS問題に対して、(2+ε)-近似アルゴリズムを提示した。これは、この非自明な部分クラスにおける最初のO(1)近似である。
• 同じ(2+ε)-近似は、交差グラフの同型性により、対角線にアンカーポイントを持つL字フレームに対しても拡張可能である。
• L字フレームが対角線と交差する場合、またはその水平部分が垂直線と交差する場合、MDS問題がAPX-hardであることが証明された。
• L字フレームが垂直線と水平線の両方と交差する場合、問題は線形時間で解けることが示され、これは扱いやすいケースである。
• 辺支配集合問題からのギャップ保持還元により、サイズが<(2−p+ε)nの支配集合と>(2−q−ε)nの支配集合を区別することはNP困難であり、最適なpにおいてギャップは約1.1377に近づくことが示された。
• 本稿は、Mehrab（WAOA 2017）が提起したL字フレームの辺交差モデルに関する2つの未解決問題を解決した。