[論文レビュー] Approximating Dynamic Time Warping and Edit Distance for a Pair of Point Sequences

Pankaj K. Agarwal, Kyle Fox+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2015

Time Series Analysis and Forecasting被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ℝᵈにおける良好な性質を有する点列に対して、幾何的分割を用いて動的計画法の表エントリを削減することで、動的時間 warp (DTW) および編集距離 (ED) の最初の部分二次時間近似アルゴリズムを提示する。κ-パックドおよびκ-バウンドド曲線に対しては近似度 (1+ε) を達成する近線形時間、バックボーン列に対しては部分二次時間の性能を実現し、空間的性質を活用して計算を最適化する。

ABSTRACT

We give the first subquadratic-time approximation schemes for dynamic time warping (DTW) and edit distance (ED) of several natural families of point sequences in $\mathbb{R}^d$, for any fixed $d \ge 1$. In particular, our algorithms compute $(1+\varepsilon)$-approximations of DTW and ED in time near-linear for point sequences drawn from k-packed or k-bounded curves, and subquadratic for backbone sequences. Roughly speaking, a curve is $κ$-packed if the length of its intersection with any ball of radius $r$ is at most $κ\cdot r$, and a curve is $κ$-bounded if the sub-curve between two curve points does not go too far from the two points compared to the distance between the two points. In backbone sequences, consecutive points are spaced at approximately equal distances apart, and no two points lie very close together. Recent results suggest that a subquadratic algorithm for DTW or ED is unlikely for an arbitrary pair of point sequences even for $d=1$. Our algorithms work by constructing a small set of rectangular regions that cover the entries of the dynamic programming table commonly used for these distance measures. The weights of entries inside each rectangle are roughly the same, so we are able to use efficient procedures to approximately compute the cheapest paths through these rectangles.

研究の動機と目的

• SETHのもとで正確な計算がほぼ二次時間であると知られているℝᵈにおける点列に対する、効率的な(1+ε)-近似アルゴリズムの開発。
• 入力列の幾何的性質を活用することで、動的計画法表の計算ボトルネックを克服すること。
• κ-パックド、κ-バウンドド、バックボーン列などの自然な軌跡クラスに対して、近線形または部分二次時間の実行時間を達成すること。
• GPS軌跡、タッチスクリーンパターン、時系列解析などの実世界応用におけるスケーラブルな類似度計算を可能にすること。

提案手法

• 平面の階層的クアッドツリーに基づく分割を構築し、点を互いに良好に分離されたペアにグループ化する。
• 動的計画法表内の長方形領域を定義し、エントリの重みがほぼ一様であるようにすることで、効率的な近似を可能にする。
• 各長方形領域を通る最小コストパスを維持・照会するための完全二分木を用い、1回の操作あたりO(log n)時間で処理する。
• κ-パックド、κ-バウンドド、バックボーン特性といった幾何的制約を適用し、関連する表エントリの数を制限する。
• 曲線の正則性により境界エントリ数（|∂U|）が小さいことを利用し、効率的な更新と照会を保証する。
• 空間的局所性と曲線構造を活用して動的計画法表の処理対象エントリ数を削減し、部分二次時間性能を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝᵈにおける自然な幾何的構造を有する点列に対して、(1+ε)-近似DTWおよびEDを部分二次時間で計算可能か？
• RQ2 点列のどの幾何的性質が、処理対象となる動的計画法表エントリ数を顕著に削減可能にするか？
• RQ3 ℝᵈにおけるκ-パックドまたはκ-バウンドド曲線に対して、DTWおよびEDを近線形時間で達成可能か？
• RQ4 本手法をバックボーン列に拡張することで、高次元において部分二次時間アルゴリズムを得られるか？
• RQ5 入力幾何構造に基づく同様の表削減技術により、より広範な幾何最適化問題が解けるか？

主な発見

• κ-パックドおよびκ-バウンドド曲線に対して、ℝᵈで(1+ε)-近似を達成するが、固定されたεおよびdに対して実行時間はO(n log n)である。
• バックボーン列に対しては、最適パrameter設定下で部分二次時間O(n^{2-1/(d+1)})で実行される。
• 関連する動的計画法表エントリ数は、κ-パックドに対してO(κ/ε n)、κ-バウンドドに対してO(κᵈ/εᵈ n)、バックボーン列に対してO(n^{2-1/(d+1)}/ε^{1-1/(d+1)})で有界である。
• 完全二分木データ構造の使用により、長方形領域を通る最小パスコストを維持するための効率的O(log n)の更新・照会が可能である。
• 幾何的制約を活用することで処理対象エントリ数を削減し、大規模な列に対してもスケーラブルな実行が可能である。
• 理論的境界はSETHのもとでタイトであり、任意の列に対して部分二次時間アルゴリズムは不可能であることが確認され、構造的入力を対象とすることの正当性が裏付けられる。