[論文レビュー] Approximating fixed points of enriched Chatterjea contractions by Krasnoselskij iterative method in Banach spaces

Vasile Berinde, Mădălina Pačurar|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2019

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿はバナッハ空間における拡張されたチャットルジャ・縮小写像を導入し、クラスノセルスキー反復法を用いて固定点の存在と収束を証明する。Krasnoselskij反復法が、このクラスにおいて、Picard反復法よりも固定点を近似できることを確立し、Krasnoselskij平均化と拡張された収縮条件を用いて、古典的チャットルジャおよびカンナンの結果を一般化する。

ABSTRACT

Using the technique of enrichment of contractive type mappings by Krasnoselskij averaging, introduced in [Berinde, V., {\it Approximating fixed points of enriched nonexpansive mappings by Krasnoselskij iteration in Hilbert spaces}, Carpathian J. Math. {\bf 35} (2019), no. 3, 277-288.], we introduce the class of enriched Chatterjea contractions and prove general fixed point theorems for such contractions in the setting of a Banach space. Examples to illustrate the richness of the new class of contractions and the relationship between enriched Banach contractions, enriched Kannan contractions and enriched Kannan contractions are also given.

研究の動機と目的

• バナッハ空間におけるチャットルジャ型縮小写像へのクラスノセルスキー平均化手法の拡張を図ること。
• 古典的チャットルジャおよびカンナン縮小写像を一般化する、新たな写像類「拡張されたチャットルジャ縮小写像」を定義し、その性質を検討すること。
• これらの写像に対して、Picard反復法ではなく、クラスノセルスキー反復法が固定点を近似できることを示すこと。
• クラスノセルスキー反復スキームを用いて、拡張されたチャットルジャ写像に対する一般固定点定理を確立すること。

提案手法

• k ≥ 0 および b ∈ [0, 1/2) を用いた、(k,b)-拡張されたチャットルジャ写像の概念を、k と b を含む収縮条件によって導入する。
• クラスノセルスキー平均化を適用し、λ ∈ (0,1] に対して Tλ(x) = (1−λ)x + λTx を定義することで、元の写像を固定点解析に適した形に変換する。
• 拡張されたチャットルジャ条件と Tλ に対する準収縮型形式との同値性を用い、Ćirićの固定点定理の適用を可能にする。
• k > 0 の場合、λ = 1/(k+1) を設定して、収縮条件を Tλ の形に再表現し、Tλ がチャットルジャ型準収縮を満たすことを示す。
• k = 0 の場合、古典的チャットルジャの場合に還元され、直接的にPicard反復法が適用可能となる。
• Fix(T) = {p} であり、任意の x0 ∈ X に対して xn+1 = (1−λ)xn + λT(xn) で定義される {xn} が p に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラスノセルスキー平均化手法は、バナッハ空間におけるチャットルジャ型縮小写像へ拡張可能か？
• RQ2 Picard反復法が失敗する場合でも、拡張されたチャットルジャ写像に対してクラスノセルスキー反復法は固定点に収束するか？
• RQ3 拡張されたチャットルジャ縮小写像のクラスは、拡張されたバナッハおよび拡張されたカンナン縮小写像のクラスとどのように関係するか？
• RQ4 パrameter k は、チャットルジャ縮小写像を拡張し、クラスノセルスキー収束を可能にする役割を果たすか？
• RQ5 Ćirićの準収縮枠組みを用いて、拡張されたチャットルジャ写像の固定点定理を導出可能か？

主な発見

• (k,b)-拡張されたチャットルジャ写像のクラスは、古典的チャットルジャ縮小写像を一般化し、k = 0 の場合に元のケースに還元される。
• 任意の k ≥ 0 および b ∈ [0, 1/2) に対して、写像 T は拡張されたチャットルジャ条件を満たし、一意な固定点を持つ。
• 任意の x0 ∈ X に対して、クラスノセルスキー反復 {xn+1 = (1−λ)xn + λT(xn)} が固定点 p に収束する。ここで λ ∈ (0,1] は k に依存する。
• k > 0 の場合、平均化写像 Tλ はチャットルジャ型準収縮条件を満たし、Ćirićの定理により収束が保証される。
• 固定点は一意的であり、初期点 x0 とは無関係に収束する。
• 結果として、古典的チャットルジャ、カンナン、およびバナッハの固定点定理が、拡張された枠組み内で一般化される。