[論文レビュー] Approximating fixed points of enriched nonexpansive mappings by Krasnoselskij iteration in Hilbert spaces

Vasile Berinde|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 44被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、入力の差と出力の差の線形結合を含むパラメータ付き不等式を用いて非拡大写像を拡張する新しいクラスである強化非拡大写像をヒルバート空間で導入する。固定点を近似するためのクラスカルノセルスキー反復の強収束および弱収束定理を確立し、ブローダーとペトリシュインの古典的結果を一般化し、さまざまな収縮型写像をより広い枠組みで統一する。

ABSTRACT

Using the technique of enrichment of contractive type mappings by Krasnoselskij averaging, presented here for the first time, we introduce and study the class of {\it enriched nonexpansive mappings} in Hilbert spaces. In order to approximate the fixed points of enriched nonexpansive mappings we use the Krasnoselskij iteration for which we prove strong and weak convergence theorems. Examples to illustrate the richness of the new class of contractive mappings are also given. Our results in this paper extend some classical convergence theorems established by Browder and Petryshyn in [Browder, F. E., Petryshyn, W. V., {\it Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space}, J. Math. Anal. Appl. {\bf 20} (1967), 197--228.] from the case of nonexpansive mappings to that of enriched nonexpansive mappings, thus including many other important related results from literature as particular cases.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間における新しい写像クラス、強化非拡大写像を導入・研究すること。
• 非線形解析における2つの基本的問題、すなわち、固定点の存在とその近似を、この新しいクラスに対して取り扱うこと。
• ブローダーとペトリシュインの古典的収束定理を、非拡大写像から強化非拡大写像へと拡張すること。
• 非拡大、準非拡大、リプシッツ連続、一般化擬拡大写像などが含まれることを示すことにより、新しいクラスの豊かさと一般性を実証すること。
• 強化非拡大写像の文脈において、クラスカルノセルスキー反復の強収束および弱収束結果を確立すること。

提案手法

• パrameter b ∈ [0,∞) を用いた不等式 ||b(x−y)+Tx−Ty|| ≤ (b+1)||x−y|| を用いて、強化非拡大写像を定義する。これは非拡大条件の一般化である。
• 固定点を近似するためのクラスカルノセルスキー反復スキーム x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n (λ ∈ (0,1)) を用いる。
• ヒルバート空間の有界・閉・凸部分集合において、強化非拡大写像の固定点集合が空でなく、閉かつ凸であることを証明する。
• 固定点集合が空でなく、写像が有界であるという仮定の下で、クラスカルノセルスキー反復の強収束を確立する。
• 集合 C が有界・閉・凸であるとき、反復列が固定点に弱収束することを証明する。
• 単調性、凸性、ヒルバート空間の幾何的性質の技術を用いて、収束行動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非拡大写像のクラスは、固定点の存在と反復スキームの収束を保ちつつ、より一般の収縮型写像を含むように拡張可能か？
• RQ2 ヒルバート空間における強化非拡大写像に対して、クラスカルノセルスキー反復は固定点に強く収束し、弱く収束するか？
• RQ3 新しいクラスの強化非拡大写像は、準非拡大、強く非拡大、または擬拡大写像などの既存クラスとどのように関係しているか？
• RQ4 クラスカルノセルスキー平均化による強化技術を用いることで、非線形写像の既知の収束結果を統一的または一般化的に扱えるか？
• RQ5 強化非拡大写像の固定点集合の構造的および位相的性質は何か？

主な発見

• ヒルバート空間の有界・閉・凸部分集合上での任意の強化非拡大写像は固定点を持ち、その固定点集合は凸である。
• λ ∈ (0,1) であるクラスカルノセルスキー反復 {x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n} は、固定点集合が空でなく、写像が有界である限り、固定点に強く収束する。
• 定義域 C が有界・閉・凸である場合、写像の有界性を仮定しなくても、クラスカルノセルスキー反復は固定点に弱収束する。
• 強化非拡大写像のクラスは、非拡大写像のクラスを真に含み、かつ、十分に小さいリプシッツ定数を持つすべての準非拡大およびリプシッツ連続写像を含む。
• 区間 [1/2, 2] 上の写像 T(x) = 1/x は、x=1 に一意の固定点を持つ 3/2-強化非拡大写像であり、標準的な非拡大写像を超えるクラスの豊かさを示している。
• 本結果は、ブローダーとペトリシュインの古典的収束定理を一般化し、文献に既知の多くの結果を特別な場合として包含する。