[論文レビュー] Approximating Fixed Points of Nonexpansive Mappings by a Faster Iteration Process

Nazli Kadioglu, İsa Yıldırım|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 8被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間における非拡張写像の不動点を近似するための新しい反復プロセスを導入し、ピカール、マン、イシカワ、S反復、および通常のS反復プロセスよりも収束が速いことを示している。提案手法は2つのパラメータを含む3段階の反復を用い、一様凸バナッハ空間および一般のバナッハ空間において標準的な条件下で強収束定理と弱収束定理を確立している。

ABSTRACT

In this paper, we consider a new iteration process which is faster than all of Picard, Mann, Ishikawa and Agarwal et al. processes. We also prove some strong and weak convergence theorems for the class of nonexpansive mappings in Banach spaces.

研究の動機と目的

• 既存の古典的および現代的スキームと比較して、非拡張写像の不動点を近似するより速い反復プロセスを開発すること。
• 特に計算および数値的応用において、不動点反復の収束を速くする必要性に対応すること。
• 一般および一様凸バナッハ空間における提案反復の強収束および弱収束定理を確立すること。
• コンパクト性や弱相対性を仮定しない最小限の仮定（条件(A)およびオピアル型条件を含む）の下で収束を証明すること。
• 理論的比較および数値的証拠を用いて、新プロセスの収束速度が優れていることを示すこと。

提案手法

• 3段階の反復スキームを提案：$ x_{n+1} = T y_n $, $ y_n = (1 - \alpha_n) z_n + \alpha_n T z_n $, $ z_n = (1 - \beta_n) x_n + \beta_n T x_n $, ここで $ \alpha_n, \beta_n \in (0,1) $。
• ベリンドの定義に基づく収束速度の概念を用い、列の比較に極限 $ \lim_{n \to \infty} \frac{|a_n - a|}{|b_n - b|} $ を用いる。
• 弱収束の証明にオピアル条件および弱閉性の性質を適用し、一様凸バナッハ空間で成立する。
• 弱列コンパクト性および弱クラスターポイントの一意性を保証するため、一様凸バナッハ空間の概念を用いる。
• 強収束を確立するために、$ \|x - Tx\| $ と $ d(x, F(T)) $ の関係を示す関数的不等式である条件(A)を用いる。
• 関数 $ f $ が存在し、$ f(0) = 0 $、$ r > 0 $ に対して $ f(r) > 0 $ を満たし、$ \|x - Tx\| \geq f(d(x, F(T))) $ を満たすものとすることで、強収束を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非拡張写像に対して、ピカール、マン、イシカワ、S反復、および通常のS反復プロセスよりも収束が速い新しい反復プロセスを設計できるか？
• RQ2 バナッハ空間および写像にどのような条件が課されると、提案反復の弱収束または強収束が保証されるか？
• RQ3 ベリンドの定義に従う収束速度の観点から、新プロセスの収束速度は既存スキームと比較してどの程度か？
• RQ4 特に写像が条件(A)を満たす場合、どのような条件下で反復が強収束するか？
• RQ5 オピアルの条件または双対写像を用いて、一様凸バナッハ空間において、提案プロセスが一意な不動点に収束することを示せるか？

主な発見

• 理論的比較により、ベリンドの収束速度定義に基づき、新プロセスが収縮写像に対してピカール、マン、イシカワ、S反復、および通常のS反復プロセスよりも収束が速いことが確認された。
• 提案プロセスによって生成される列 $ \{x_n\} $ は、オピアル条件を満たす一様凸バナッハ空間において、写像 $ T $ の不動点に弱収束する。
• 条件(A)の下では、コンパクト性や弱相対性を仮定しなくても、反復は不動点に強収束する。
• 収束のための必要条件である $ \lim_{n \to \infty} \|x_n - T x_n\| = 0 $ が確立された。
• オピアルの条件および双対写像を用いて、弱列の極限の一意性が証明され、すべての弱クラスターポイントが一致することが示された。
• このプロセスは従来のスキームに依存せず、$ \beta_n = 0 $ のときピカールプロセス、$ \alpha_n = \beta_n = 0 $ のとき通常のS反復に簡略化される。