[論文レビュー] Approximating L^2 invariants of amenable covering spaces: A heat kernel approach

Józef Dodziuk, Varghese Mathai|ArXiv.org|Sep 6, 1996

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、境界を感じない原理に基づく熱核法を用いて、可解な被覆空間の$L^2$ベッチ数が、普遍被覆の正規被覆の正規 exhaustion における正規化されたベッチ数で近似可能であることを確立している。主な結果は、適切な幾何的条件下では、平均化されたベッチ数の極限が$L^2$ベッチ数に一致することであり、次元≤4では弱いコhomological仮定のもとで等号が成り立つ。

ABSTRACT

In this paper, we prove that the L^2 Betti numbers of an amenable covering space can be approximated by the average Betti numbers of a regular exhaustion, under some hypotheses. We also prove that some L^2 spectral invariants can be approximated by the corresponding average spectral invariants of a regular exhaustion. The main tool which is used is a generalisation of the "principle of not feeling the boundary" (due to M. Kac), for heat kernels associated to boundary value problems.

研究の動機と目的

• 可解なガロア被覆空間の$L^2$ベッチ数の近似定理を、熱核技法を用いて確立すること。
• 正規被覆の正規化されたベッチ数が、極限において$L^2$ベッチ数に収束するかどうかを調査すること。
• 制御された幾何を持つリーマン多様体上の境界値問題へ「境界を感じない原理」を拡張すること。
• $L^2$-形式上のラプラシアンの状態密度関数が、相対的・絶対的境界条件に依存しないことを証明すること。
• 正規化されたベッチ数がすべての可解被覆に対して$L^2$ベッチ数に収束するという予想の証拠を提供し、次元≤4でコhomological有限性の仮定のもとで証明すること。

提案手法

• 境界付き多様体上の熱核に適用される一般化された「境界を感じない原理」（元来 M. Kac によるもの）を用いる。
• 普遍被覆$\widehat{M}$の正規被覆$\{D_k\}$上での$L^2$-形式上のラプラシアンに、相対的および絶対的境界条件を適用する熱核法を適用する。
• 被覆に幾何的制御を課す：相対的等周比が消えること、第二基本形式が一様に有界であること、境界に一様なコラールが存在すること。
• スペクトル密度関数$N_j^{(k)}(\lambda)$と、$k \to \infty$のとき$L^2$スペクトル密度$N_{j,\Gamma}(\lambda)$への収束に依存する。
• ゼータ関数正則化を用いてスペクトル不変量の収束を研究し、$\Re(s) > n/2$の半平面上で$\zeta(s, \Delta_p^{(k)} + \lambda)$が$\zeta(s, \Delta_p + \lambda)$に収束することを示す。
• 可解群において$F_p(\lambda) = G_{p+1}(\lambda)$の関係から、統合状態密度関数が境界条件に依存しないことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解被覆空間の$L^2$ベッチ数は、正規被覆の正規化されたベッチ数で近似可能か？
• RQ2 正規化されたベッチ数の極限（絶対的または相対的）は、可解な場合に$L^2$ベッチ数に一致するか？
• RQ3 可解被覆上での$L^2$-形式上のラプラシアンの統合状態密度関数は、境界条件（相対的または絶対的）に依存しないか？
• RQ4 $D_k$上のラプラシアンのゼータ関数が、$\widehat{M}$上の$L^2$ゼータ関数に収束する条件は何か？
• RQ5 可解な設定下で、ノビコフ＝シュービン不変量とスペクトル密度の成長率の関係は何か？

主な発見

• 可解なガロア被覆では、正規化されたベッチ数の上極限が$\limsup_{k\to\infty} \frac{\mathrm{vol}(M)}{\mathrm{vol}(D_k)} b^j(D_k, \partial D_k) \leq b_{(2)}^j(\widehat{M}, \Gamma)$を満たし、$b_{(2)}^j = 0$のとき等号が成り立つ。
• 次元2では、正規化されたベッチ数が$L^2$ベッチ数に収束するという予想は、条件なしに成立する。
• 次元3および4では、$\dim H^1(\widehat{M}) < \infty$の仮定のもとで、予想は成立する。
• 統合状態密度関数$F_p(\lambda)$は、境界条件（相対的または絶対的）に依存せず、$F_p(\lambda) = G_{p+1}(\lambda)$により示される。
• $\zeta(s, \Delta_p^{(k)} + \lambda)$は、$k \to \infty$のとき、$\Re(s) > n/2$のコンパクト集合上で$\zeta(s, \Delta_p + \lambda)$に一様収束する。
• スペクトル密度が$\frac{\mathrm{vol}(M)}{\mathrm{vol}(D_k)}[N_j^{(k)}(\lambda) - N_j^{(k)}(0)] \leq C\lambda^{\beta_j}$を満たすならば、$j$番目のノビコフ＝シュービン不変量は$\alpha_j(\widehat{M}) \geq \beta_j$を満たし、主要な予想が成立する。