[論文レビュー] Approximating multicut and the demand graph

Chandra Chekuri, Vivek Madan|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、要求グラフにサイズtの誘導マッチングを含まない場合、n^O(t) 時間で2-近似アルゴリズムを提示する。これはフロー・カットギャップに依存せず、均一なメトリックラベルリングへの還元に基づく。一方、一意ゲーム予想（UGC）のもとでは、固定された要求グラフに対する有向Multicutに対して、最悪ケースのフロー・カットギャップより良い近似は不可能であり、特定の誘導部分グラフを含まない場合にk-近似が可能であることを示し、有向マルチウェイカット結果を一般化する。

ABSTRACT

In the minimum Multicut problem, the input is an edge-weighted supply graph G = (V, E) and a demand graph H = (V, F). Either G and H are directed (Dir-MulC) or both are undirected (Undir-MulC). The goal is to remove a minimum weight set of supply edges E' ⊆ E such that in G − E' there is no path from s to t for any demand edge (s, t) ∈ F. Undir-MulC admits O(log k)-approximation where k is the number of edges in H while the best known approximation for Dir-MulC is min{k, O(|V|11/23)}. These approximations are obtained by proving corresponding results on the multicommodity flow-cut gap. In this paper we consider the role that the structure of the demand graph plays in determining the approximability of Multicut. We obtain several new positive and negative results.In undirected graphs our main result is a 2-approximation in nO(t) time when the demand graph excludes an induced matching of size t. This gives a constant factor approximation for a specific demand graph that motivated this work, and is based on a reduction to uniform metric labeling and not via the flow-cut gap.In contrast to the positive result for undirected graphs, we prove that in directed graphs such approximation algorithms can not exist. We prove that, assuming the Unique Games Conjecture (UGC), that for a large class of fixed demand graphs Dir-MulC cannot be approximated to a factor better than the worst-case flow-cut gap. As a consequence we prove that for any fixed k, assuming UGC, Dir-MulC with k demand pairs is hard to approximate to within a factor better than k. On the positive side, we obtain a k approximation when the demand graph excludes certain graphs as an induced subgraph. This generalizes the known 2 approximation for directed Multiway Cut to a larger class of demand graphs.

研究の動機と目的

• 要求グラフの構造的性質がMulticut問題の近似可能性に与える影響を調査すること。
• 要求グラフの特定の構造的制約を活用して、Multicutの改善された近似アルゴリズムを開発すること。
• 一意ゲーム予想（UGC）のもとで、固定された要求グラフに対する有向Multicutのタイトな近似不可能性バウンドを確立すること。
• 既知の結果（例えば、有向マルチウェイカットに対する2-近似）を、より広いクラスの要求グラフへ一般化すること。

提案手法

• 要求グラフにサイズtの誘導マッチングを含まない場合、無向Multicut問題を均一なメトリックラベルリングに還元する。
• 要求グラフの構造に基づく動的計画法を用いて、n^O(t) 時間で2-近似を達成する。
• 一意ゲーム予想（UGC）を用いて、固定された要求グラフに対する有向Multicutの近似不可能性下限を証明する。
• 有向Multicutに対してk-近似を可能にする禁止誘導部分グラフを同定し、マルチウェイカット結果を拡張する。
• 要因グラフの構造と関連してマルチコミmodリットフロー・カットギャップを分析するが、主な肯定的結果ではそれを依存しない。
• 構造的グラフ理論を用いて、定数因子近似が可能な要因グラフを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 要因グラフの構造を制限することで、Multicutの近似可能性を向上させることができるか？
• RQ2 要因グラフのどのような構造的性質が、無向Multicutに対する定数因子近似アルゴリズムを可能にするか？
• RQ3 一意ゲーム予想（UGC）のもとで、固定された要因グラフに対する有向Multicutのタイトな近似不可能性バウンドは何か？
• RQ4 有向マルチウェイカットに対する2-近似は、より広いクラスの要因グラフへ一般化可能か？
• RQ5 誘導マッチングやその他の部分グラフの存在が、フロー・カットギャップおよび近似の困難さにどのように影響するか？

主な発見

• 要因グラフにサイズtの誘導マッチングを含まない場合、無向Multicut（Undir-MulC）に対してn^O(t) 時間で2-近似アルゴリズムが達成される。
• 近似はフロー・カットギャップ分析ではなく、均一なメトリックラベルリングへの還元に基づく。
• 一意ゲーム予想（UGC）のもとでは、固定された有向要因グラフの広いクラスに対して、最悪ケースのフロー・カットギャップより良い近似は存在しない。
• 任意の固定されたkに対して、k個の要因ペアを含む有向Multicut（Dir-MulC）は、UGCのもとでkより良い要因に近似可能でない。
• 要因グラフに特定の誘導部分グラフを含まない場合、有向Multicut（Dir-MulC）に対してk-近似が達成され、マルチウェイカット結果が一般化される。
• 要因グラフの構造的制約が、無向および有向両設定におけるMulticutの近似可能性を決定づけることが示された。