[論文レビュー] Approximating Partition Functions of Two-State Spin Systems

Jinshan Zhang, Heng Liang+1 more|ArXiv.org|Nov 29, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有界次数のグラフ上の二状態スピン系について、絶対値の逆温度 $ J $ が臨界閾値 $ J_d $ 未満であるとき、強い相関減衰が成立することを確立し、分配関数のFPTASを可能にする。自己回避木と再帰的周辺確率計算を用いて、条件 $ (d-1) anh J < 1 $ の下でギブズ測度の一意性を証明する。これはドブロシキンの条件を一般化したものであり、イジング模型に対してタイトである。

ABSTRACT

Two-state spin systems is a classical topic in statistical physics. We consider the problem of computing the partition function of the systems on a bounded degree graph. Based on the self-avoiding tree, we prove the systems exhibits strong correlation decay under the condition that the absolute value of "inverse temperature" is small. Due to strong correlation decay property, an FPTAS for the partition function is presented under the same condition. This condition is sharp for Ising model.

研究の動機と目的

• 有界次数のグラフ上の二状態スピン系について、強い相関減衰を確立すること。
• ドブロシキンの基準を拡張した条件 $ (d-1)\tanh J < 1 $ の下で、ギブズ測度の一意性を証明すること。
• 強い相関減衰条件の下で、分配関数の完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）を開発すること。
• 自己回避木技術を用いて、イジング模型における閾値 $ J < J_d $ のタイトさを示すこと。

提案手法

• グラフを木構造に埋め込むための自己回避木（SAW）技術を用いる。
• 切り詰めたSAW木上で再帰的周辺確率計算を適用し、ルートスピンの確率を推定する。
• 境界状態の影響をルートに及ぼすのを制御するため、関数 $ f(t) = 4Jd((d-1)\tanh J)^{t-1} $ を導入する。
• 近似誤差を制御するため、SAW木の高さを $ t_j = \frac{\log(4nJd\epsilon^{-1})}{\log((d-1)\tanh J)^{-1}} + 1 $ で切り詰める。
• 切り詰めた木上で再帰的計算により条件付き周辺確率推定値を組み合わせることでFPTASを構築する。
• 恒等式 $ Z(G) = Z(G, \Phi_{n+1}) \prod_{i=1}^n p_i^{-1} $ を用い、$ p_i $ は頂点 $ i $ におけるスピン $ + $ の周辺確率である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二状態スピン系が、$ |J| < J_d $ のとき、有界次数のグラフ上で強い相関減衰を示すか？
• RQ2 条件 $ (d-1)\tanh J < 1 $ を用いて、一般の二状態スピン系におけるギブズ測度の一意性を証明できるか？
• RQ3 強い相関減衰条件の下で、分配関数のFPTASが有効か？
• RQ4 イジング模型において、閾値 $ J_d $ はタイトか、特に $ d $-正則木上で成立するか？

主な発見

• 有界次数のグラフ上の二状態スピン系について、$ |J| < J_d $ のとき強い相関減衰が成立する。ここで $ J_d $ は無限大の $ d $-正則木における一意性の臨界逆温度である。
• 条件 $ (d-1)\tanh J < 1 $ は、無限大の有界次数のグラフ上でのギブズ測度の一意性を保証し、ドブロシキンの条件 $ d\tanh J < 1 $ を一般化する。
• 強い相関減衰条件の下で、分配関数のFPTASは時間 $ O(n^{O(1)} \epsilon^{-O(1)}) $ で実行可能であり、$ n $ および $ \epsilon^{-1} $ に対して多項式的である。
• 真の周辺確率と推定値の比は $ e^{-\epsilon/n} \leq \widehat{p_j}/p_j \leq e^{\epsilon/n} $ を満たし、最終的な分配関数推定値における $ \epsilon $-相対誤差を保証する。
• 閾値 $ J_d $ はイジング模型に対してタイトであり、無限大の $ d $-正則木における一意性の臨界点と一致する。
• 本手法はスパarsなグラフおよび Erdős–Rényi のランダムグラフ $ G(n, d/n) $ にまで拡張可能であり、正則グラフに限らない広範な適用可能性を示唆する。