[論文レビュー] Approximating regions of attraction of a sparse polynomial differential system *

Didier Henrion, Matteo Tacchi+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、スパース多項式常微分方程式（ODE）の有限時間の吸引領域（ROA）の外部近似を計算するための凸最適化フレームワークを提案する。このフレームワークは、Lasserreのモーメント-SOS階層に基づくもので、大規模な電力システムの安定性解析を実行可能にする。スパース構造を活用することで、計算複雑性を低減しつつ、数値的に保証された近似が得られる。20次元のVan-der-Pol振動子の鎖状系において、次数12で収束を示した。

ABSTRACT

Motivated by stability analysis of large scale power systems, we describe how the Lasserre (moment-sums of squares, SOS) hierarchy can be used to generate outer approximations of the region of attraction (ROA) of sparse polynomial differential systems, at the price of solving linear matrix inequalities (LMI) of increasing size. We identify specific sparsity structures for which we can provide numerically certified outer approximations of the region of attraction in high dimension. For this purpose, we combine previous results on non-sparse ROA approximations with sparse semi-algebraic set volume computation.

研究の動機と目的

• 電力システム安定性解析に現れる大規模スパース多項式ODEにおける吸引領域（ROA）の近似を、計算的に実行可能である方法で開発すること。
• Lasserreのモーメント-SOS階層をスパース系に拡張し、凸最適化を用いて有限時間ROAの外部近似を可能にすること。
• 動的系のスパース構造と半代数的集合の構造を活用することで、高次元系におけるROAの数値的に保証された外部近似を提供すること。
• リャプノフに基づく手法における非凸なバイナリーソフトウェアSOS定式化の限界を克服し、ROA推定を凸線形行列不等式（LMI）問題に再定式化すること。
• 高次元系、特に弱い結合を有するVan der Pol振動子の鎖状系を対象として、本手法のスケーラビリティと実用的妥当性を検証すること。

提案手法

• 本手法は、Lasserreのモーメント-SOS階層を用い、次数を増加させる線形行列不等式（LMI）を解くことで、有限時間ROAの逐次的外部近似を生成する。
• 系の動的構造におけるスパース性を、各部分系が隣接する部分系にのみ依存する弱く結合されたサブシステムの鎖として構造化することで活用する。
• 非スパースROA近似技術とスパース半代数的集合体積計算を組み合わせることで、計算負荷を低減しつつも精度を維持する。
• 有限時間ROAは、占有測度を用いて特徴付けられ、構造的スパース性を有するSOS証明を用いて双対化され、凸LMI問題に変換される。
• 本手法は、プライマル・デュアルフレームワークを採用し、デュアル問題がSOSに基づく証明を生成し、ROAの外部近似を定義する。
• 数値的実装はYALMIPとMOSEKを用い、意思決定変数を効率的に宣言・解釈可能であり、20次元のような高次元系に対しても適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lasserreのモーメント-SOS階層は、スパース多項式ODEにおける有限時間吸引領域の数値的に保証された外部近似を提供するために適応可能か？
• RQ2 系の動的構造におけるスパース性は、高次元系におけるROA近似の計算複雑性をどのように低減できるか？
• RQ3 提案された凸LMIベースの手法は、大規模電力システムにおいて、従来の非凸バイナリーソフトウェアSOS定式化と比較して、スケーラビリティと計算実行可能性において優れているか？
• RQ4 非スパースの場合と比較して収束証明が失われたとしても、スパース系において外部近似が真のROAにどの程度収束するか？
• RQ5 本手法は、弱い結合を有する実際の電力システムモデル、例えば弱結合Van der Pol振動子の鎖状系に効果的に適用可能か？

主な発見

• 本手法は、弱い結合を有する20次元のVan der Pol振動子の鎖状系について、有限時間ROAの外部近似を成功裏に計算し、次数12で収束を示した。
• 次数12での計算に約23分を要し、変数宣言に11.5分、MOSEKによる半正定値計画（SDP）の解法に10.75分を要した。
• 次数12におけるスパース近似は、形状とサイズの点で非スパース近似と非常に類似しており、この範囲ではスパース性が精度を著しく低下させないことが示された。
• 外部近似は、標準的なVan der Pol振動子とは異なり、摂動を受けるROA形状を示しており、弱い結合項の影響を反映している。
• 本手法は、標準的なモーメント-SOS手法が計算的に非現実的となる高次元系（n=20）に対してもスケーラブルであることが示された。
• 今後のメッシュ構造の多機器電力システムや、グリッドフォーミングコンバータを有する瞬間的安定性評価への応用にとって、前向きな結果が得られた。