[論文レビュー] Approximating Relativistic Quantum Field Theories with Continuous Tensor Networks

Tom Shachar, Erez Zohar|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2021

Quantum many-body systems参考文献 41被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、空間的およびグローバルな対称性を保存する相対論的量子場理論向けの連続的テンソルネットワーク形式、連続的プロジェクテッドエンタングルドペア状態（cPEPS）を導入する。cPEPSが自由スカラー場理論（クライン=ゴルドン理論）の真空を、正則化に依存しないフィデリティ・パー・サイト項によって制御される収束性で近似できることを解析的に示し、格子の歪みなしに体系的な誤差推定が可能であることを示している。

ABSTRACT

We present a continuous tensor-network construction for the states of quantum fields called cPEPS (continuous projected entangled pair state), which enjoys the same spatial and global symmetries of ground-states of relativistic field theories. We explicitly show how such a state can approximate and eventually converge to the free field theory vacuum and suggest a regularization-independent way of estimating the convergence via a universal term in the fidelity per-site. We also present a detailed bottom-up construction of the cPEPS as the continuum limit of the conventional lattice Projected Entangled Pair State (PEPS).

研究の動機と目的

• 相対論的量子場理論と整合する連続的テンソルネットワーク形式の開発を目的とする。
• 相対論的基底状態の対称性特性を継承する場の理論的cPEPSの構築を目的とする。
• 連続的場理論における収束精度の正則化に依存しない推定法の提供を目的とする。
• cPEPSが格子PEPSの連続的極限として成立することを確立し、従来のテンソルネットワーク原理と整合性を保つことを目的とする。
• Gaussian cPEPSを用いて、解析的に取り扱える対称性を保つ関数形を用いて、自由場理論の真空を体系的に近似可能とすることを目的とする。

提案手法

• 物理的および仮想のスカラー場に関する関数積分としてcPEPSを形式化し、2次結合項および勾配項を含む作用Aを導入する。
• 解析的取り扱いの容易さと自由場理論への物理的妥当性を確保するため、2次作用Aを用いたGaussianアンザッツを採用する。
• フーリエ変換を用いて運動量空間におけるcPEPSを導出し、並進不変系の解析を可能にする。
• 仮想場を統合することで、スピン次元Dおよび結合パラメータに依存する簡略化されたGaussian状態を導出する。
• 格子PEPSの連続的極限としてcPEPSを構築し、離散的テンソルネットワーク構造と整合性を保つ。
• 正則化手法に依存しない普遍的なフィデリティ・パー・サイト項を導入し、収束性を定量化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的量子場理論の対称性（Lorentz不変性やグローバル対称性など）を尊重する連続的テンソルネットワーク状態を構築可能か？
• RQ2 格子の歪みなしに、自由スカラー場理論の真空状態を連続的テンソルネットワークでどのように近似できるか？
• RQ3 cPEPSが正確な場理論の真空に収束する際の、正則化に依存しない評価指標は何か？
• RQ4 cPEPS形式は、従来の格子PEPSの連続的極限としてどのように導かれるか？
• RQ5 cPEPSにおけるフィデリティ・パー・サイトは、UV正則化に依存しない普遍的指標として用いることができるか？

主な発見

• cPEPSの構築は、スピン次元Dが無限大に達する極限で、自由スカラー場理論（クライン=ゴルドン理論）の真空状態を正確に再現する。
• cPEPSと正確な真空状態との間のフィデリティ・パー・サイトには、正則化に依存しない普遍的な項が存在し、収束性を支配する。
• cPEPSの作用は、格子PEPSの連続的極限から導出され、離散的テンソルネットワークフレームワークと整合性を保つことが確認された。
• Gaussian cPEPSにおいて、仮想場を正確に統合可能であり、物理場の2次関数的汎関数が自由場の作用と一致する。
• スピン次元Dの増大に伴い、精度を体系的に向上可能であり、収束性は普遍的なフィデリティ項によって制御される。
• 形式はグローバルおよび空間的対称性（回転および並進不変性など）を、構築の段階で直接的に保持する。