[論文レビュー] Approximating the Cubicity of Trees

Jasine Babu, Manu Basavaraju+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、木の立方体次元を計算するための、最初の定数倍近似アルゴリズムを、確率的および決定的多項式時間の両方で提示する。再帰的木分解と、ハイパーキューブへの確率的重みベクトル割り当てを用い、最適次元の定数倍の範囲内で立方体表現を達成する。確率的アルゴリズムは期待多項式時間で実行され、決定的バージョンは表現を構築しないで立方体次元を近似する。

ABSTRACT

Cubicity of a graph $G$ is the smallest dimension $d$, for which $G$ is a unit disc graph in ${\mathbb{R}}^d$, under the $l^\infty$ metric, i.e. $G$ can be represented as an intersection graph of $d$-dimensional (axis-parallel) unit hypercubes. We call such an intersection representation a $d$-dimensional cube representation of $G$. Computing cubicity is known to be inapproximable in polynomial time, within an $O(n^{1-ε})$ factor for any $ε>0$, unless NP=ZPP. In this paper, we present a randomized algorithm that runs in polynomial time and computes cube representations of trees, of dimension within a constant factor of the optimum. It is also shown that the cubicity of trees can be approximated within a constant factor in deterministic polynomial time, if the cube representation is not required to be computed. As far as we know, this is the first constant factor approximation algorithm for computing the cubicity of trees. It is not yet clear whether computing the cubicity of trees is NP-hard or not.

研究の動機と目的

• 単位ハイパーキューブの交差表現の最小次元を測るパラメータである、木の立方体次元に対する多項式時間近似アルゴリズムの開発。
• 最適次元の定数倍の範囲内で、木の立方体表現を計算する確率的アルゴリズムの提供。
• 立方体次元が、表現を明示的に計算しないままでも、決定的多項式時間で定数倍近似可能であることを示すこと。
• 内在次元の近似技術を立方体次元に拡張することの可能性の検討。ただし、これらの2つのパラメータは本質的に異なる。

提案手法

• アルゴリズムは、深さと距離の閾値に基づく階層的分解を用いて、木をより小さな部分木に再帰的に分解する。
• 各部分木に対して、非隣接頂点が少なくとも1つの次元で分離されるように保証する確率的手続きを用いて、辺に重みベクトルを割り当てる。
• 確率的重み割り当ては、射影座標の差の $ l^\infty $-ノルムに基づく確率的境界を用い、非隣接ペアが交差グラフで接続されないことを保証する。
• すべての非隣接頂点ペアを分離する失敗確率を、距離範囲の和集合を用いてバウンドする。
• 使用する次元数は $ 4(\lceil 22.77 \times \rho(T) \rceil + 2) $ に設定され、ここで $ \rho(T) $ は木の半径であり、最適立方体次元の定数倍近似を保証する。
• 決定的バージョンのアルゴリズムは、同じ構造的分解と計算可能な境界に依存し、表現を構築しないで立方体次元を近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木の立方体次元は、多項式時間で定数倍近似可能か？
• RQ2 最適次元の定数倍の範囲内で、木の立方体表現を計算する確率的アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 表現を明示的に計算しないままでも、木の立方体次元は決定的多項式時間で定数倍近似可能か？
• RQ4 内在次元の近似技術は、パラメータが本質的に異なるにもかかわらず、立方体次元に適用可能か？

主な発見

• 確率的アルゴリズムは、期待多項式時間で木の立方体表現を計算し、次元数が最適立方体次元の定数倍以内に収まる。具体的には、$ 4(\lceil 22.77 \times \rho(T) \rceil + 2) $ 以下である。
• 確率的重み割り当ての失敗確率は 0.33 以下に抑えられ、非隣接頂点ペアが少なくとも1つの次元で分離される確率が 0.67 以上であることが保証される。
• 重み割り当てステップの繰り返し回数の期待値は $ 1/0.67 $ 未満であり、期待的に定数回の反復で実行される。
• 決定的バージョンのアルゴリズムは、実際に立方体表現を構築しないままでも、多項式時間で木の立方体次元を定数倍近似する。
• 内在次元から借用されたアルゴリズムのコア技術は、問題固有の修正を加えることで立方体次元に適応されたが、一般には比較不能な2つのパラメータであるにもかかわらず。
• 本稿では、木の立方体次元の計算が、NP困難であるとは知られていないことが示され、本アルゴリズムはこの問題に対する最初の定数倍近似アルゴリズムを提供する。