[論文レビュー] Approximating the first $L^2$-betti number of residually finite groups

Wolfgang Lück, Denis Osin|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限生成で残留有限な群の第一 $L^2$-ベッチ数に対する下界を、有限指数正規部分群の通常の第一ベッチ数を用いて確立する。群 $G$ とそのネストされた有限指数正規部分群列 $N_i$ に対して、$L^2$-ベッチ数は比 $b_1(N_i)/[G:N_i]$ の上極限以上であることを証明する。主な貢献は、任意の素数 $p$ に対して、正の第一 $L^2$-ベッチ数を持つ、無限で残留有限な $p$-群を構成し、トーショントル群と $L^2$-不変量に関する長年の未解決問題を解決したことである。

ABSTRACT

We show that the first $L^2$-betti number of a finitely generated residually finite group can be estimated from below by using ordinary first betti numbers of finite index normal subgroups. As an application we construct a finitely generated infinite residually finite torsion group with positive first $L^2$-betti number.

研究の動機と目的

• 有限生成で残留有限な群の第一 $L^2$-ベッチ数を、有限指数正規部分群の通常のベッチ数を用いて下から推定すること。
• 有限生成群に対して $L^2$-ベッチ数の近似予想が、有限生成表示でない群に対しても成り立つかどうかを調査すること。
• 幾何的群論におけるフォン・ノイマン型問題の中心的である、正の第一 $L^2$-ベッチ数を持つ無限の残留有限トーショントル群の存在問題を解決すること。
• トーショントル群に対して、近似式 $b_1^{(2)}(G) = \lim_{i\to\infty} b_1(N_i)/[G:N_i]$ が一般には成り立たないことを示すこと。右辺はゼロであるが、左辺はゼロでないことがある。

提案手法

• 群 $G$ の分類空間 $BG$ を、$G$ の有限生成表示近似群 $G_j$ の分類空間の無限マッピングテープルとしてコリミット構成すること。このとき、整合性のある普遍被覆を用いる。
• $\mathcal{G}$ と呼ばれる群のクラス（すべての残留有限群を含む）における $L^2$-ベッチ数の近似定理を適用し、$L^2$-ホモロジーと有限 $G$-CW複体のコリミットとの関係を確立する。
• 増加する仮想 $p$-欠陥度を満たす、ネストされたプロ-$p$完備化 $\widehat{G}_k$ の列を構成し、$\mathrm{vd}_p(G_k) > n-1-\varepsilon$ となるようにする。
• 自由群 $F_n$ の商群 $G_k$ を、関係 $f_k^{p^n} = 1$ を追加することで帰納的に構成し、仮想 $p$-欠陥度を増加させつつ、残留 $p$-有限性を保つ。
• $L^2$-ベッチ数の逆極限における半連続性を用いて、極限群 $Q$ に対して $b_1^{(2)}(Q) \geq \limsup b_1^{(2)}(\widehat{G}_k) \geq n-1-\varepsilon$ を導出する。
• 核の語長条件を介して $Q$ の残留有限性を検証し、非自明な元が有限商群で検出されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成で残留有限な群の第一 $L^2$-ベッチ数は、有限指数正規部分群の通常の第一ベッチ数を用いて下から推定可能か？
• RQ2 近似予想 $b_1^{(2)}(G) = \lim_{i\to\infty} b_1(N_i)/[G:N_i]$ は、有限生成表示でない群に対しても成り立つか？
• RQ3 正の第一 $L^2$-ベッチ数を持つ無限の残留有限 $p$-群は存在するか？ これはラッケンビーの自由部分群に関する結果の一般化を否定する可能性を含む。
• RQ4 右辺がゼロであるにもかかわらず、トーショントル群に対して逆不等式 $b_1^{(2)}(G) \leq \limsup b_1(N_i)/[G:N_i]$ は成り立つか？

主な発見

• 任意の有限生成で残留有限な群 $G$ に対して、交わりが自明なネストされた有限指数正規部分群列 $N_i$ に対して、$b_1^{(2)}(G) \geq \limsup_{i\to\infty} b_1(N_i)/[G:N_i]$ が成り立つ。
• 任意の素数 $p$ に対して、有限生成で無限の残留有限 $p$-群 $Q$ が存在し、任意の $n \geq 2$ と $\varepsilon > 0$ に対して $b_1^{(2)}(Q) \geq n-1-\varepsilon$ が成り立つ。ここで $n$ は生成数である。
• 構成された群 $Q$ はトーショントル $p$-群であるため、正の $L^2$-ベッチ数が無限トーショントル群に現れることを示しており、これはラッケンビーの自由部分群に関する結果の一般化を否定する。
• 近似群 $G_k$ の仮想 $p$-欠陥度 $\mathrm{vd}_p(G_k)$ は、適切な関係 $f_k^{p^n} = 1$ を選ぶことで $n-1$ に任意に近づけることができ、これにより $L^2$-ベッチ数の下界が保証される。
• $L^2$-ベッチ数の逆極限における半連続性により、極限群 $Q$ は、$Q$ が有限生成表示でないにもかかわらず、近似群 $\widehat{G}_k$ から下界 $b_1^{(2)}(Q) \geq n-1-\varepsilon$ を引き継ぐ。
• $Q$ は、語長 $k$ の非自明な元がすべて有限かつ $p$-有限な商群 $\widehat{G}_{k+1}/N_{k+1}$ で検出されることを構成により保証するため、残留有限である。