[論文レビュー] Approximating the optimal competitive ratio for an ancient online scheduling problem

Lin Chen, Deshi Ye+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ジョブがリスト形式で順次到着し、リアルタイムにスケジューリングが必要な古典的なオンラインスケジューリング問題 $P||C_{\text{max}}$ に対する競合比近似スキームを提示する。著者らは、敵対的アドバーシャーとオンラインアルゴリズムを交互に動く階層グラフとしてモデル化する、革新的なゲーム理論的枠組みを導入し、最適競合比の $ (1+\epsilon) $ 以内で近似可能な動的計画法を設計した。これにより、マシン数 $ m $ が入力に含まれる場合でも多項式時間の性能が達成可能である。主な結果として、理論的最適値に限りなく近い競合比を達成するほぼ最適なアルゴリズムが得られ、既知の上界1.9201と下界1.88の間のギャップが顕著に縮小された。

ABSTRACT

We consider the classical online scheduling problem P||C_{max} in which jobs are released over list and provide a nearly optimal online algorithm. More precisely, an online algorithm whose competitive ratio is at most (1+ε) times that of an optimal online algorithm could be achieved in polynomial time, where m, the number of machines, is a part of the input. It substantially improves upon the previous results by almost closing the gap between the currently best known lower bound of 1.88 (Rudin, Ph.D thesis, 2001) and the best known upper bound of 1.92 (Fleischer, Wahl, Journal of Scheduling, 2000). It has been known by folklore that an online problem could be viewed as a game between an adversary and the online player. Our approach extensively explores such a structure and builds up a completely new framework to show that, for the online over list scheduling problem, given any ε>0, there exists a uniform threshold K which is polynomial in m such that if the competitive ratio of an online algorithm is ρ<=2, then there exists a list of at most K jobs to enforce the online algorithm to achieve a competitive ratio of at least ρ-O(ε). Our approach is substantially different from that of Gunther et al. (Gunther et al., SODA 2013), in which an approximation scheme for online over time scheduling problems is given, where the number of machines is fixed. Our method could also be extended to several related online over list scheduling models.

研究の動機と目的

• オンライン $P||C_{\text{max}}$ スケジューリングの競合比に対する、既知の上界1.9201と下界1.88の間の継続的ギャップを埋めること。
• マシン数 $ m $ が入力に含まれる場合でも、最適競合比の $ (1+\epsilon) $ 以内に近似可能な多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• 敵対的アドバーシャーとオンラインアルゴリズムの間のゲームとして問題をモデル化する新しい枠組みを確立し、トリムド・スナリオを用いた動的計画法の適用を可能にすること。
• 基本的な $P||C_{\text{max}}$ 問題を超えた、リスト順スケジューリングの他のオンラインモデルへもこのアプローチを拡張すること。

提案手法

• ジョブのリリースと割り当ての交互な動きを特徴とする、敵対的アドバーシャー（ジョブをリリース）とオンラインアルゴリズム（ジョブを割り当て）の2人ゲームとしてオンラインスケジューリングプロセスをモデル化する。
• スケーリング要因を用いてすべてのジョブサイズを定数個のタイプに縮小するスケーリングおよびトリミング技術を導入し、各マシンに対して「トリムド状態」と呼ばれる有限集合を形成する。
• システムの状態を「トリムド・スナリオ」として表現する — これはすべてのマシンにおけるトリムド状態のタプルであり、$ m $ に対して多項式的に多くの異なるスナリオが存在する。
• ゲームの各レイヤーが移動回数に対応する階層グラフ表現を用いた動的計画法を用い、敵対的アドバーシャーが $ O(\text{poly}(m)) $ 回の移動以内に勝利戦略を持つかどうかを同定する。
• トリムド・スナリオの「即時近似比」を、その状態でゲームが終了した場合に達成される競合比として定義し、$ O(\epsilon) $ の誤差内で計算する。
• 有界インスタンスにおける最適アルゴリズム $ Al_B^* $ とリストスケジューリング（LS）を合成 $ Al_B^* \circ LS $ することで最終的なアルゴリズムを構築し、グローバルな競合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マシン数 $ m $ が入力に含まれる場合に、$ P||C_{\text{max}} $ に対して $ (1+\epsilon) $-近似による競合比近似スキームを設計可能か？
• RQ2 スケーリングおよびトリミング技術を用いて、オンラインスケジューリングの無限状態空間を多項式サイズの有限状態空間に縮小可能か？
• RQ3 敵対的アドバーシャーとアルゴリズムの相互作用のゲーム理論的構造が、多項式時間内に最適戦略を動的計画法で計算可能か？
• RQ4 合成アルゴリズム $ Al_B^* \circ LS $ の競合比が、有界インスタンスにおける $ Al_B^* $ の競合比によって抑えられるか？
• RQ5 この新しい枠組みを用いて、$ P||C_{\text{max}} $ の既知の上界1.9201と下界1.88のギャップを効果的に縮小可能か？

主な発見

• 本稿では、時間計算量 $ O(m^{\Lambda}) $ である競合比近似スキームを達成し、ここで $ \Lambda = 2^{O(1/\epsilon^2 \log^2(1/\epsilon))} $ であり、任意の固定された $ \epsilon > 0 $ に対して $ m $ に対して多項式的である。
• 提案されたアルゴリズムの競合比は、最適オンラインアルゴリズムの競合比の最大 $ (1+\epsilon) $ 倍であり、既知の上界と下界のギャップを実質的に埋めることに成功した。
• スケーリングを用いたトリムド・スナリオの有限集合の構築により、考慮すべき異なる設定は $ \text{poly}(m) $ 個に限定され、動的計画法の適用が可能になった。
• ゲーム理論的枠組みにより、敵対的アドバーシャーが高い競合比を強制するために多項式回の移動しか必要としないことが示され、問題が動的計画法に適していることが証明された。
• 合成 $ Al_B^* \circ LS $ は、有界インスタンスにおける $ Al_B^* $ の競合比と同一であり、この比はグローバル最適競合比 $ \rho_{Al^*} $ に等しくなる。これにより、合成アルゴリズムの最適性が証明された。
• このアプローチは、基本的な $ P||C_{\text{max}} $ 問題を超えて、他のオンラインリスト順スケジューリングモデルへも一般化可能であり、広範な適用可能性を示した。