[論文レビュー] Approximating the Packedness of Polygonal Curves

Joachim Gudmundsson, Yuan Sha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、ℝᵈ 内の多角形曲線が c--packed であるような最小の c を計算するための2つの近似アルゴリズムを提示している。本稿では、立方体に基づく packedness の定義を用いている。1つ目のアルゴリズムは、O(dn² log n) 時間で2-近似を達成する。d=2 の場合、(6+ε)-近似が O((n/ε³)^{4/3} polylog(n/ε)) 時間で達成可能である。16個の実世界の軌跡データセットを用いた実験により、c-packedness が実用的な入力モデルであることが確認された。

ABSTRACT

In 2012 Driemel et al. [Anne Driemel et al., 2012] introduced the concept of c-packed curves as a realistic input model. In the case when c is a constant they gave a near linear time (1+ε)-approximation algorithm for computing the Fréchet distance between two c-packed polygonal curves. Since then a number of papers have used the model. In this paper we consider the problem of computing the smallest c for which a given polygonal curve in ℝ^d is c-packed. We present two approximation algorithms. The first algorithm is a 2-approximation algorithm and runs in O(dn² log n) time. In the case d = 2 we develop a faster algorithm that returns a (6+ε)-approximation and runs in O((n/ε³)^{4/3} polylog (n/ε))) time. We also implemented the first algorithm and computed the approximate packedness-value for 16 sets of real-world trajectories. The experiments indicate that the notion of c-packedness is a useful realistic input model for many curves and trajectories.

研究の動機と目的

• 与えられた ℝᵈ 内の多角形曲線が c-packed であるような最小の c を計算することにより、アルゴリズムの性能解析を向上させること。
• 正確な手法に比べて高い計算複雑性を回避するため、packedness の計算に効率的な近似アルゴリズムを開発すること。
• 実世界の軌跡が、小さな実用的な c 値に対して c-packedness の性質を満たすかどうかを評価すること。
• 曲線処理アルゴリズムのための実用的で理論的に裏付けられた入力モデルを提供すること。

提案手法

• c-packedness は立方体に基づく定義を用いる：任意の辺の長さが r である軸に平行な立方体 S に対して、S 内部の曲線長は c·r 以下である。
• 空間の階層的分解に、変更を加えたセグメント木を主データ構造として用いる。
• セグメント木の各内部ノードに対して、クエリ用の立方体内での曲線長を効率的に推定するための関連データ構造を維持する。
• 幾何的分割と範囲カウント技術を適用し、赤青セグメントの交差を求めるアガラワの O(n^{4/3})-時間アルゴリズムを用いる。
• 2段階のデータ構造と Type C ノードを用いて、クエリ立方体内での曲線長の上界を維持し、2次元では (6+ε)-近似を保証する。
• 2-近似アルゴリズムを実装し、16個の実世界の軌跡データセットに対して評価した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多角形曲線が c-packed である最小の c を、サブキュービック時間で計算できるか？
• RQ2 c-packedness モデルは実世界の軌跡に対して実用的に関連性があるか？
• RQ3 一般の d 次元アルゴリズムと比較して、2次元曲線に対して (6+ε)-近似をより高速に達成できるか？
• RQ4 近似品質の観点から、元々の球に基づく定義と比較して、立方体に基づく定義の c-packedness はどのように異なるか？
• RQ5 実世界の軌跡の経験的 packedness 値は何か？また、c-packedness が現実的で妥当な入力モデルとして使えるかどうかを支持するか？

主な発見

• 本稿では、O(dn² log n) 時間で2-近似を達成する c-packedness のためのアルゴリズムを提示している。d ≥ 3 の場合、これはサブキュービック時間である。
• 2次元曲線の場合、(6+ε)-近似アルゴリズムは O((n/ε³)^{4/3} polylog(n/ε)) 時間で実行され、一般ケースよりも顕著に高速である。
• 2-近似アルゴリズムは実装され、16個の実世界の軌跡データセットに適用された。その結果、大部分の軌跡が小さな c に対して c-packed であることが示された。
• 実験結果から、c-packedness は実用的で現実的な入力モデルとして有用であることが示された。
• 立方体に基づく c-packedness の定義は、2次元で (6+ε)-近似を達成でき、近似誤差は n とは無関係な定数で抑えられている。
• 理論的解析により、データ構造がクエリ1件あたり O(log(n/ε²)) 時間の効率的なクエリ時間をサポートしていることが確認された。2次元の場合の総構築時間は、O((n/ε³)^{4/3} polylog(n/ε)) が支配的である。