[論文レビュー] Approximating the shortest path problem with scenarios

Adam Kasperski, Paweł Zieliński|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複数のコストシナリオ下での最小最大最短経路問題および最小スパニングツリー問題に対する決定的近似アルゴリズムを提示する。平面的グラフや有界次数のグラフにおいて、最短経路問題に対しては $ O(\bigtriangledown{n\log K/\log\log K}) $-近似、スパニングツリー問題に対しては $ O(\log n \log K / \log\log K) $-近似を達成し、一般のグラフに対しては確率的 $ O(\log n) $-近似を実現する。これは従来の境界を改善するものである。

ABSTRACT

This paper discusses the shortest path problem in a general directed graph with $n$ nodes and $K$ cost scenarios (objectives). In order to choose a solution, the min-max criterion is applied. The min-max version of the problem is hard to approximate within $Ω(\log^{1-ε} K)$ for any $ε>0$ unless NP$\subseteq ext{DTIME}(n^{ ext{polylog} \,n})$ even for arc series-parallel graphs and within $Ω(\log n/\log\log n)$ unless NP$\subseteq ext{ZPTIME}(n^{\log\log n})$ for acyclic graphs. The best approximation algorithm for the min-max shortest path problem in general graphs, known to date, has an approximation ratio of~$K$. In this paper, an $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ flow LP-based approximation algorithm for min-max shortest path in general graphs is constructed. It is also shown that the approximation ratio obtained is close to an integrality gap of the corresponding flow LP relaxation.

研究の動機と目的

• 複数のコストシナリオ下での最小最大ネットワーク問題の計算困難性に対処すること。
• 数 $ K $ が無限大である場合の最小最大最短経路および最小スパニングツリー問題に対する、改善された近似アルゴリズムの開発。
• これらのロバスト最適化問題における既知の近似不能性境界と、既存の近似比の間のギャップを埋めること。
• $ n $ および $ K $ に対して効率的にスケーリングする、性能保証付きのアルゴリズムの提供。

提案手法

• $ K $ 個の異なるコストシナリオを伴う最小最大最短経路および最小スパニングツリー問題を、ロバスト最適化問題として定式化する。
• すべてのシナリオにおける最悪ケースコストをモデル化するために、シナリオベースの制約を含む線形計画法の緩和を用いる。
• ラウンド化の失敗確率を制御するために、チェルノフ・フーディング不等式を活用した、確率的ラウンド化に基づく決定的ラウンド手順を設計する。
• 連結性を高確率で保証するために、コンponentsの削減解析を用いた、複数ラウンドのエッジサンプリングプロセスを適用する。
• 集中不等式を用いて、すべてのシナリオにおいてサンプリングされた解のコストがLP最適値からどれほど逸脱するかを制限する。
• エッジの含める確率をLP解から導出する、しきい値ベースのサンプリング方式を導入し、コストと連結性のバランスを取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の $ K $-近似よりも、最小最大最短経路問題に対してより良い決定的近似比が達成可能か？
• RQ2 一般のグラフにおける最小最大スパニングツリー問題の最良の近似比は何か？ そして、それが決定的に達成可能か？
• RQ3 近似比は、対応するLP緩和の整数性ギャップとどのように関係しているか？
• RQ4 確率的ラウンド手法をどのように変更すれば、最悪ケースコスト下でのスパニングツリー構築における高確率での連結性を保証できるか？

主な発見

• 最小最大最短経路問題に対して、決定的 $ O(\sqrt{n\log K/\log\log K}) $-近似アルゴリズムが開発された。
• 有界平均次数または平面的グラフのスパニングツリー問題に対しては、決定的 $ O(\log n \log K / \log\log K) $-近似が達成された。
• 一般のグラフにおける最小最大スパニングツリー問題に対しては、成功確率が高く、$ O(\log n) $-近似の確率的アルゴリズムが構築された。
• 達成された近似比が、基礎となるLP緩和の整数性ギャップに近いことが示された。
• 有効なスパニングツリーが構築されない失敗確率が $ 1/n^2 $ 以下であることが分析で確認され、高い信頼性が保証された。
• 関連問題への還元に基づき、このようなロバストネットワーク問題における近似比に $ \sqrt{n} $ 要因が本質的である可能性が示唆された。