[論文レビュー] Approximating three-dimensional Navier-Stokes equations driven by space-time white noise

Rongchan Zhu, Xiangchan Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、パラコントロールド分布法を用いて、空間時間白色ノイズによって駆動される3次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対する正則化近似の収束を確立する。近似方程式から再生産に起因するドリフト項を差し引くことで、極限が元の微分方程式を満たすことを保証し、粗いノイズに起因する特異性を克服する。主な貢献は、確率的 Hölder 空間における明示的な収束速度を伴う厳密な近似結果の確立である。

ABSTRACT

In this paper we study approximations to 3D Navier-Stokes (NS) equation driven by space-time white noise by paracontrolled distribution proposed in [GIP13]. A solution theory for this equation has been developed recently in [ZZ14] based on regularity structure theory and paracontrolled distribution. In order to make the approximating equation converge to 3D NS equation driven by space-time white noise, we should subtract some drift terms in approximating equations. These drift terms, which come from renormalizations in the solution theory, converge to the solution multiplied by some constant depending on approximations.

研究の動機と目的

• 空間時間白色ノイズによって駆動される3次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対する正則化近似の収束を確立すること。
• 空間時間白色ノイズの粗さに起因する空間的正則性の欠如および非線形項の定義不能性を扱うこと。
• 再生産ドリフト補正なしでは、近似の極限が元の微分方程式を満たさないことを示すこと。
• KPZ型方程式の技術を拡張し、パラコントロールド分布フレームワークを用いた具体的な近似結果を提供すること。
• 近似解の収束速度を確率的 Hölder 範囲で定量的に導出すること。

提案手法

• Gubinelliの制御された粗いパスとBonyのパラプロダクト分解を組み合わせたパラコントロールド分布法を用いる。
• アンザッツ $ u = \pi_{<}(u', g) + u^\sharp $ を採用し、$ \pi_{<} $ が特異部を分離し、$ u^\sharp $ が乗算に耐える十分な正則性を持つようにする。
• 離散ラプラシアンおよび勾配作用素を用いた近似方程式 $ du^\varepsilon = (\nu\Delta^\varepsilon u^\varepsilon - P\sum D^\varepsilon_j(u^\varepsilon u^\varepsilon_j))dt + P dW $ を構築する。
• 発散が極限に残るのを防ぐために、近似方程式に特定の再生産ドリフト項を導入し、それを差し引く。
• ウィenerカオス分解における確率的積分を用い、2次、3次、4次カオスの項をスペクトル射影およびフーリエ解析を用いて推定する。
• ガウス型超収縮性およびモーメント推定を用いて、任意の $ \delta > 0 $ に対して $ L^p(\Omega; C([0,T], C^{-\delta})) $ における収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラコントロールド分布法を用いて、空間時間白色ノイズを伴う3次元ナビエ＝ストークス方程式に対する一貫性のある近似スキームを構築可能か？
• RQ2 近似方程式において、真の解への収束を保証するために必要な再生産ドリフト補正は何か？
• RQ3 近似の収束速度は、正則性およびノイズ構造にどのように依存するか？
• RQ4 ドリフト補正なしでは、なぜ標準的な近似が元の微分方程式の解に収束しないのか？
• RQ5 カオス展開技術を用いて、確率的 Hölder 範囲における収束を定量的に評価可能か？

主な発見

• 近似解 $ u^\varepsilon $ の極限は、空間時間白色ノイズによって駆動される3次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の解 $ u $ に収束する。
• 再生産に起因するドリフト項を差し引かない場合、極限 $ \bar{u} $ は近似スキームに依存する追加のドリフト項を有する修正された方程式を満たす。
• 差 $ u^\varepsilon - \bar{u}^\varepsilon $ は、任意の $ \delta > 0 $ に対して $ L^p(\Omega; C([0,T], C^{-\delta})) $ で収束し、収束速度は $ \varepsilon^{\eta} $（$ \eta > 0 $）である。
• 2次カオス項は、任意の $ \rho > 0 $ に対して $ |\phi^\varepsilon_2 - \bar{\phi}^\varepsilon_2| \lesssim t^{-\rho} \varepsilon^{\eta} $ を満たし、重み付き Hölder 範囲での収束を示す。
• 2次カオス項はフーリエ解析およびスペクトル射影を用いて推定され、$ \| \Delta_q I^i_t \|_{L^2} \lesssim \varepsilon^{\eta} t^{\epsilon} 2^{q(2\epsilon + \eta)} $ を得る。
• 4次カオス項は $ \| \Delta_q L^1_t \|_{L^2} \lesssim \varepsilon^{\eta} t^{\epsilon} 2^{q(2\epsilon + \eta)} $ を満たし、明示的な収束速度を伴う確率的 Hölder 空間における収束を確認する。