[論文レビュー] Approximation algorithms and hardness for domination with propagation

Ashkan Aazami, Michael D. Stilp|ArXiv.org|Oct 10, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、伝搬ルールを追加する支配集合の拡張であるパワー支配集合（PDS）問題に対する近似アルゴリズムと難易度結果を提示する。$2^{\log^{1-\epsilon} n}$ の強い近似不能性の閾値を確立し、平面グラフに対して $O(\sqrt{n})$ の近似（タイト）を示し、有向無閉路グラフに対しても類似の難易度を証明する一方で、有界木幅を持つ有向グラフにおけるPDS問題に対しては線形時間の最適解法を提示する。

ABSTRACT

The power dominating set (PDS) problem is the following extension of the well-known dominating set problem: find a smallest-size set of nodes $S$ that power dominates all the nodes, where a node $v$ is power dominated if (1) $v$ is in $S$ or $v$ has a neighbor in $S$, or (2) $v$ has a neighbor $w$ such that $w$ and all of its neighbors except $v$ are power dominated. We show a hardness of approximation threshold of $2^{\log^{1-ε}{n}}$ in contrast to the logarithmic hardness for the dominating set problem. We give an $O(\sqrt{n})$ approximation algorithm for planar graphs, and show that our methods cannot improve on this approximation guarantee. Finally, we initiate the study of PDS on directed graphs, and show the same hardness threshold of $2^{\log^{1-ε}{n}}$ for directed \emph{acyclic} graphs. Also we show that the directed PDS problem can be solved optimally in linear time if the underlying undirected graph has bounded tree-width.

研究の動機と目的

• 伝搬ルールを追加する支配集合問題の拡張であるパワー支配集合（PDS）問題の近似複雑性を調査すること。
• PDSの近似不能性のタイトな境界を確立し、$\textsf{P} = \textsf{NP}$ でない限り、$2^{\log^{1-\epsilon} n}$ 以内に近似できないことを示すこと。
• 特に平面グラフおよび木幅が有界な有向グラフに対して、近似アルゴリズムの設計と分析を行うこと。
• PDSインスタンスにおける貪欲法および関連ヒューリスティクス（例：近接性、クリーニング）の性能限界を調査すること。

提案手法

• 集合被覆問題への還元により近似不能性を証明し、PDSが $2^{\log^{1-\epsilon} n}$ の難易度閾値を継承することを示し、集合被覆問題における最良の既知の近似不能性と一致することを示す。
• 構造的性質と注意深く構築された部分グラフ上の貪欲法を用いて、平面グラフに対して $O(\sqrt{n})$-近似アルゴリズムを設計する。
• 提案された近似アルゴリズムが漸近的にタイトであることを示すために、アルゴリズムの解のサイズが最適解の $\Theta(\sqrt{n})$ 倍になるような平面グラフの族を構築する。
• 有向グラフにおけるPDS問題を分析するため、有向伝搬ルールを定義し、有向無閉路グラフ（DAG）に対しても同じ近似不能性閾値を証明する。
• 木分解に基づく動的計画法を用いて、元の無向グラフの木幅が有界である場合に、有向PDS問題を線形時間で最適に解く。
• 標準的な貪欲法の変種（近接性、クリーニング）が最適解の $\Theta(n)$ 倍も悪くなる可能性があることを示すために、明示的な反例（例：辺を分割したグリッド型グラフ）を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面グラフにおけるパワー支配集合問題の最良の可能な近似比は何か？
• RQ2 近似不能性の閾値という観点から、パワー支配集合問題を近似するのはどの程度難しいか？
• RQ3 PDSにおける伝搬ルールは、標準的な支配集合問題よりも著しく良い近似保証をもたらす可能性があるか？
• RQ4 特にDAGにおけるパワー支配集合問題の複雑性は何か？
• RQ5 木幅が有界なグラフにおいて、PDS問題は多項式時間で最適に解けるか？

主な発見

• PDS問題は、$\textsf{P} \neq \textsf{NP}$ を仮定すると、任意の $\epsilon > 0$ に対して $2^{\log^{1-\epsilon} n}$ 以内に近似することは不可能であり、これは集合被覆問題における既知の最良の近似不能性と一致する。
• 平面グラフに対して $O(\sqrt{n})$-近似アルゴリズムを提示し、この境界はタイトである。最適解の $\Theta(\sqrt{n})$ 倍の解を得るような平面グラフが存在する。
• PDS用の標準的な貪欲法アルゴリズムは、平面グラフ上でも最適解の $\Theta(n)$ 倍も大きな解を生成する可能性がある。
• 近接性およびクリーニングの変種である貪欲法も、$\Theta(n)$ 倍の最適解より悪い解を生成する反例により、サブ線形近似比を達成できないことが示された。
• 有向無閉路グラフでは、PDS問題が同様の近似不能性閾値 $2^{\log^{1-\epsilon} n}$ を継承しており、無向の場合と同等に難しいことが示された。
• 有向PDSインスタンスの元の無向グラフの木幅が有界である場合、木分解に基づく動的計画法を用いて、線形時間で最適に解ける。