[論文レビュー] Approximation algorithms for 1-Wasserstein distance between persistence diagrams

Samantha Chen, Yusu Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2021

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$L_1$埋め込みとフローツリーに基づくランダムシフトを用いて、1- Wasserstein 距離を近似的に計算する2つの近線形時間アルゴリズムを提示する。正確な手法（ハンガリアン法など）と比較して、複数のオーダーの高速化を達成しながら、平均相対誤差が非常に低く（例えば、実データセットにおけるフローツリーでは0.28–0.31）、大規模なトポロジカルデータ解析に実用的である。

ABSTRACT

Recent years have witnessed a tremendous growth using topological summaries, especially the persistence diagrams (encoding the so-called persistent homology) for analyzing complex shapes. Intuitively, persistent homology maps a potentially complex input object (be it a graph, an image, or a point set and so on) to a unified type of feature summary, called the persistence diagrams. One can then carry out downstream data analysis tasks using such persistence diagram representations. A key problem is to compute the distance between two persistence diagrams efficiently. In particular, a persistence diagram is essentially a multiset of points in the plane, and one popular distance is the so-called 1-Wasserstein distance between persistence diagrams. In this paper, we present two algorithms to approximate the 1-Wasserstein distance for persistence diagrams in near-linear time. These algorithms primarily follow the same ideas as two existing algorithms to approximate optimal transport between two finite point-sets in Euclidean spaces via randomly shifted quadtrees. We show how these algorithms can be effectively adapted for the case of persistence diagrams. Our algorithms are much more efficient than previous exact and approximate algorithms, both in theory and in practice, and we demonstrate its efficiency via extensive experiments. They are conceptually simple and easy to implement, and the code is publicly available in github.

研究の動機と目的

• パーシステンス図の正確な1- Wasserstein 距離計算における計算ボトル neck を解消すること。ハンガリアン法を用いる場合、計算量は$O(n^3)$に比例する。
• 実行時間において、既存の正確法および近似法を著しく上回る、効率的で実用的かつ軽量な近似アルゴリズムを開発すること。
• 元来ユークリッド点集合を対象として開発されたランダム化されたクアッドツリーに基づく最適輸送近似技術を、ノイズのための対角線マッチングを含むパーシステンス図の特異な構造に適応すること。
• 多様な実データおよび合成データセット上で、近似精度と計算効率のトレードオフを評価すること。

提案手法

• 最適輸送から着想を得た$L_1$埋め込み手法をパーシステンス図に適応させ、点を距離構造を保つ低次元空間に写像する。
• ランダムにシフトされたフローツリー（クアッドツリー）データ構造を用い、平面を再帰的に分割し、図の点間の最適マッチングを近似する。
• ノイズをモデル化するため、点を対角線$y=x$にマッチングすることを許容する。これは、パーシステンス図における標準的な1- Wasserstein 距離と整合する。
• フローツリーによる幾何的加速を施した修正版オークションアルゴリズムを用い、近似的なマッチングを効率的に計算する。
• クアッドツリーのグリッドをランダムにシフトすることで、最悪ケースの近似誤差を低減し、安定性を向上させる。
• 両アルゴリズムをオープンソースとしてGitHubに実装し、再現性および実用的利用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適輸送分野で開発されたランダム化クアッドツリーに基づく近似手法を、パーシステンス図間の1- Wasserstein 距離計算に効果的に適応できるか？
• RQ2 $L_1$埋め込み法およびフローツリー法の近似誤差は、正確な手法やHeraのような既存の近似手法と比較してどの程度か？
• RQ3 点の分布が異なる多様なデータセット上で、実行時間効率と近似精度のトレードオフはどのように変化するか？
• RQ4 対角線付近の点が存在する場合、近似アルゴリズムの性能と誤差にどのような影響を与えるか？

主な発見

• フローツリー法は、$L_2$基準距離を用いたreddit-binaryデータセットで中央値平均相対誤差0.2854を達成し、$L_1$埋め込み法よりも顕著に低い誤差を示した。
• 合成一様データに対して、$L_2$基準距離を用いた場合、フローツリー法は平均相対誤差を0.2664まで低減し、データタイプを問わず高い精度を示した。
• 両手法とも、正確なハンガリアン法およびHera近似法に対して複数オーダーの高速化を達成した。フローツリー法は$L_1$埋め込み法よりも一貫して高速であった。
• 近似誤差はデータセット間で比較的安定しており、最も高い平均誤差はModelNet10（フローツリー法で0.7331）で観測されたが、依然として実用的な範囲内であった。
• 対角線に近い点の割合が高い図では、精度がやや低く、これはノイズマッチング誤差の増加が原因であると推測される。
• フローツリー法のRecall@5精度は、全テストデータセットで0.9を上回っており、近似近傍探索応用において優れた性能を示している。