[論文レビュー] Approximation algorithms for Capacitated Facility Location Problem with Penalties

Neelima Gupta, Shubham Gupta|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2014

Facility Location and Emergency Management参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、未満足需要に対して単位あたり罰則が課される、部分的サービスを許容する容量制約付き施設配置問題（CapFLPP）に対する局所探索近似アルゴリズムを提示する。Chudak-WilliamsonおよびPal-Tardos-Wexler手法を拡張し、罰則を考慮した最小費用流および再割り当て戦略を導入することで、均一容量では(5.83 + ε)、非均一容量では(8.532 + ε)の近似比を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we address the problem of capacitated facility location problem with penalties (CapFLPP) paid per unit of unserved demand. In case of uncapacitated FLP with penalties demands of a client are either entirely met or are entirely rejected and penalty is paid. In the uncapacitated case, there is no reason to serve a client partially. Whereas, in case of CapFLPP, it may be beneficial to serve a client partially instead of not serving at all and, pay the penalty for the unmet demand. Charikar et. al. \cite{charikar2001algorithms}, Jain et. al. \cite{jain2003greedy} and Xu- Xu \cite{xu2009improved} gave $3$, $2$ and $1.8526$ approximation, respectively, for the uncapacitated case . We present $(5.83 + ε)$ factor for the case of uniform capacities and $(8.532 + ε)$ factor for non-uniform capacities.

研究の動機と目的

• 未満足需要に対して単位あたり罰則が課される、部分的サービスが容量制約の下で有益であるため、容量制約付き施設配置問題（CapFLPP）に対処すること。
• 均一容量向けのChudak-Williamson（CW）および非均一容量向けのPal-Tardos-Wexler（PTW）の既存の局所探索フレームワークを、罰則コストを組み込むように拡張すること。
• 自然な線形計画緩和の整数性ギャップが存在するにもかかわらず、有界な近似比を維持する多項式時間の局所探索アルゴリズムを設計すること。
• 既存の非容量制約付きFLPPの近似比（例：1.8526）を上回るよう、容量制約付き設定にプライマル・デュアルおよびデュアル適合手法を適応させること。
• 施設開設、サービス、罰則コストの間のコストトレードオフを丁寧に分析することで、近似比の理論的上限を確立すること。

提案手法

• 均一容量向けにChudak-Williamson（CW）局所探索フレームワークを適応し、標準の最小費用流の代わりに罰則を考慮した最小費用流を用いて、開設された施設への需要の割り当てを実施する。
• 最適解を重い施設、軽い施設、支配的施設、非支配的施設に分解するための木分解を用い、再割り当て操作を誘導する。
• 開設、閉鎖、削除、および再割り当て付き削除といった再割り当て操作を、H、LD、LNDの異なるカテゴリに属する施設に対して定義・適用し、容量および需要制約を満たすようにする。
• 罰則を考慮した割り当てを導入：各クライアントjに対して、完全にサービスが提供されない場合、残余需要の一部を罰則ノードN*に割り当てる。未満足需要1単位あたりのコストはp_jである。
• 転送コストα′を用いて、局所探索解のコストを最適解と関連づけ、非均一容量ではc(S) ≤ 9c_f(S*) + 5c_s(S*) + 5c_p(S*)という不等式を導出する。
• スケーリング技術を適用し、非均一容量では(9+ε)の上限を(8.532+ε)に、均一容量では(6+ε)を(5.83+ε)に改善する。近似ナップサック解を用いて多項式時間保証を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 容量制約付き施設配置問題の既存の局所探索フレームワークは、未満足需要に対する単位あたり罰則を扱えるように拡張可能か？
• RQ2 容量制約付き設定におけるクライアントの部分的サービスは有益か？ また、これにより近似比にどのような影響が生じるか？
• RQ3 局所探索を用いた均一容量施設配置問題に罰則を導入した場合、達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ4 容量制約付き設定における自然な線形計画緩和の整数性ギャップは、どのようにして克服できるか？
• RQ5 PTWフレームワークは、罰則コストを組み込みつつも、有界な近似保証を維持できるように適応可能か？

主な発見

• 本稿では、局所探索フレームワークを用いて、均一容量施設配置問題に罰則を導入した場合の(5.83 + ε)-近似アルゴリズムを提示する。これは、(6 + ε)-近似をスケーリングすることで達成される。
• 非均一容量の場合、PTWフレームワークに罰則統合を施した(9 + ε)-近似をスケーリングし、(8.532 + ε)-近似を達成する。
• 局所探索アルゴリズムは、サービスコストと罰則コストの両方を考慮した罰則を考慮した最小費用流および再割り当てルールを用い、実行可能性とコスト増加の有界性を保証する。
• 解析により、最適解の各施設は局所探索プロセス内で最大6回開設され、エッジは最大2回使用されることが示され、コスト比較が有界であることが可能になる。
• 局所探索解のコストはc(S) ≤ 9c_f(S*) + 5c_s(S*) + 5c_p(S*)で抑えられ、スケーリング後に最終的な近似比が得られる。
• 各操作がコストを少なくともc(S)/(2p(n,ε))以上改善することを保証し、近似ナップサック解を用いることで、小さな整数の仮定に依存しない多項式時間実行を達成する。