[論文レビュー] Approximation Algorithms for Hard Capacitated $k$-facility Location Problems

Karen Aardal, Pieter van den Berg+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2013

Facility Location and Emergency Management参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、単一シンクの容量制約付き $k$-施設配置問題に対する最初の完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）を提示し、クライアント数が固定された均一容量ケースに対して多項式時間アルゴリズムを提案する。また、擬似近似技術と原対双対手法を活用して、均一開設コストを伴う容量制約付き施設配置問題に対する改善された近似アルゴリズムを構築し、$4.562(1+\epsilon)$-近似比を達成する。

ABSTRACT

We study the capacitated $k$-facility location problem, in which we are given a set of clients with demands, a set of facilities with capacities and a constant number $k$. It costs $f_i$ to open facility $i$, and $c_{ij}$ for facility $i$ to serve one unit of demand from client $j$. The objective is to open at most $k$ facilities serving all the demands and satisfying the capacity constraints while minimizing the sum of service and opening costs. In this paper, we give the first fully polynomial time approximation scheme (FPTAS) for the single-sink (single-client) capacitated $k$-facility location problem. Then, we show that the capacitated $k$-facility location problem with uniform capacities is solvable in polynomial time if the number of clients is fixed by reducing it to a collection of transportation problems. Third, we analyze the structure of extreme point solutions, and examine the efficiency of this structure in designing approximation algorithms for capacitated $k$-facility location problems. Finally, we extend our results to obtain an improved approximation algorithm for the capacitated facility location problem with uniform opening cost.

研究の動機と目的

• 単一シンクの容量制約付き $k$-施設配置問題に対する最初の完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）の設計。
• クライアント数が固定された均一容量 $k$-施設配置問題に対する多項式時間アルゴリズムの開発。
• 容量制約付き $k$-施設配置問題の近似アルゴリズム設計を支援するため、極点解の構造の分析。
• 均一開設コストを伴う容量制約付き施設配置問題に対する近似比の向上に向けた結果の拡張。

提案手法

• 動的計画法と丸め技術を用いて、単一シンクの容量制約付き $k$-施設配置問題に対する FPTAS を提案する。
• クライアント数が固定された均一容量 $k$-施設配置問題を、多項式時間で解ける輸送問題の集合に還元する。
• 線形計画緩和の極点解の構造を分析し、近似アルゴリズム設計に有用な性質を同定する。
• $k$-メディアン問題の $(\beta, \delta)$-近似アルゴリズムと、施設開設および容量制約を扱うための擬似近似フレームワークを組み合わせる。
• Charikar と Guha が提案したスケーリングを用いた局所探索ヒューリスティクスを適用し、$k$-メディアン問題に対するバイクリテリア近似を達成する。
• 得られた近似を基に、均一開設コストを伴う容量制約付き施設配置問題に対して $4.562(1+\epsilon)$-近似アルゴリズムを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一シンクの容量制約付き $k$-施設配置問題に対して、完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）を設計することは可能か？
• RQ2 クライアント数が固定された場合、均一容量 $k$-施設配置問題は多項式時間で解けるか？
• RQ3 線形計画緩和における極点解の構造は、容量制約付き $k$-施設配置問題の近似アルゴリズム設計にどのように寄与できるか？
• RQ4 $k$-施設配置問題に対する擬似近似アルゴリズムは、一般の容量制約付き施設配置問題の近似比向上に拡張可能か？

主な発見

• 単一シンクの容量制約付き $k$-施設配置問題に対する FPTAS が開発され、完全多項式時間内で任意の近似度が達成可能である。
• クライアント数が固定された均一容量 $k$-施設配置問題は、輸送問題の集合に還元可能であり、多項式時間で解ける。
• 線形計画緩和における極点解の構造が分析され、近似アルゴリズム設計に有用な性質が明らかにされた。
• 均一開設コストを伴う容量制約付き施設配置問題に対して、$4.562(1+\epsilon)$-近似アルゴリズムが達成され、既存の結果を改善した。
• $(\beta, \delta)$-近似を用いることで、最大 $\delta k$ 個の施設を開設を許容するバイクリテリア近似が可能となり、より良い境界の達成が可能になった。
• $k$-メディアン問題に対する擬似近似と原対双対フレームワークを組み合わせることで、一般の容量制約付き施設配置問題に対して定数倍近似が達成された。