[論文レビュー] Approximation Algorithms for Hypergraph Small Set Expansion and Small Set Vertex Expansion

Anand Louis, Yury Makarychev|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2014

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、ハイパーグラフの小集合拡張（H-SSE）および小集合頂点拡張問題に対する近似アルゴリズムを提示する。新しい半定値計画法（SDP）緩和と、ランダム射影およびハイパーキューブサンプリングに基づく確率的ラウンディングスキームを組み合わせた手法を用いる。H-SSEに対しては $\tilde{O}(\delta^{-1}\sqrt{\log n})$ の近似を達成し、$r$-一様ハイパーグラフにおける最大次数と均一性を組み込んだより洗練された境界を得る。$\delta = 1/2$ の場合、既知の最良のグラフ結果と一致する。主な貢献は、小集合拡張に対する保証付きのARVフレームワークをハイパーグラフへと拡張したことである。

ABSTRACT

The expansion of a hypergraph, a natural extension of the notion of expansion in graphs, is defined as the minimum over all cuts in the hypergraph of the ratio of the number of the hyperedges cut to the size of the smaller side of the cut. We study the Hypergraph Small Set Expansion problem, which, for a parameter $δ\in (0,1/2]$, asks to compute the cut having the least expansion while having at most $δ$ fraction of the vertices on the smaller side of the cut. We present two algorithms. Our first algorithm gives an $ ilde O(δ^{-1} \sqrt{\log n})$ approximation. The second algorithm finds a set with expansion $ ilde O(δ^{-1}(\sqrt{d_{ ext{max}}r^{-1}\log r\, ϕ^*} + ϕ^*))$ in a $r$--uniform hypergraph with maximum degree $d_{ ext{max}}$ (where $ϕ^*$ is the expansion of the optimal solution). Using these results, we also obtain algorithms for the Small Set Vertex Expansion problem: we get an $ ilde O(δ^{-1} \sqrt{\log n})$ approximation algorithm and an algorithm that finds a set with vertex expansion $O\left(δ^{-1}\sqrt{ϕ^V \log d_{ ext{max}} } + δ^{-1} ϕ^V ight)$ (where $ϕ^V$ is the vertex expansion of the optimal solution). For $δ=1/2$, Hypergraph Small Set Expansion is equivalent to the hypergraph expansion problem. In this case, our approximation factor of $O(\sqrt{\log n})$ for expansion in hypergraphs matches the corresponding approximation factor for expansion in graphs due to ARV.

研究の動機と目的

• ハイパーグラフへのグラフ拡張の自然な一般化であるハイパーグラフ小集合拡張（H-SSE）問題に対する効率的な近似アルゴリズムの開発。
• グラフ拡張のARVフレームワークを、特にサイズ制約付きの小集合拡張に適応するハイパーグラフへの拡張。
• 最大次数 $d_{\text{max}}$、均一性 $r$、最適拡張 $\phi^*$ などの構造的パラメータに依存する近似保証の提供。
• VLSI設計、科学計算、並列計算など広範な実用的応用があるにもかかわらず、ハイパーグラフ拡張に関する理論的研究が不足しているという問題の解消。

提案手法

• 頂点のベクトル表現を用いてハイパーエッジカットによる拡張をモデル化することで、H-SSEのための半定値計画法（SDP）緩和を定式化する。
• ランダムハイパーキューブ射影とベクトルノルムのしきい値を組み合わせることで、集合 $S$ を選択する確率的ラウンディング手順を設計する。
• 各頂点がその射影ラベルとノルムしきい値に基づいて含まれるかどうかを定義するランダムパーティションとして、ランダムハイパーキューブ $\{0,1\}^l$ を用いる。
• 射影されたベクトル間の距離を分析し、Johnson-Lindenstraussの補題を用いて集中不等式を適用することで、ハイパーエッジがカットされる確率を制御する。
• 頂点の選択確率を制御するためのパラメータ $\alpha = \max(1/2^l, 1/n)$ を導入し、頂点間でバランスの取れたサンプリングを保証する。
• 和集合の不等式と尾部推定を適用して、ハイパーエッジがカットされる確率を制御し、$\tilde{O}(\delta^{-1}\sqrt{\log n})$ の近似要因に到達する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ARVアルゴリズムがグラフの小集合拡張に対して達成する $O(\sqrt{\log n})$ の近似を、ハイパーグラフへと拡張できるか？
• RQ2 ハイパーエッジが任意のサイズを持つ場合、ハイパーグラフ小集合拡張に対してどの程度の近似保証が達成できるか？
• RQ3 最大次数 $d_{\text{max}}$ と均一性 $r$ が、ハイパーグラフ小集合拡張の近似要因にどのように影響するか？
• RQ4 頂点拡張の変種問題も同様の保証で近似可能か？

主な発見

• 本稿では、ハイパーグラフ小集合拡張問題に対して $\tilde{O}(\delta^{-1}\sqrt{\log n})$ の近似アルゴリズムを提示し、$\delta = 1/2$ の場合、既知の最良のグラフ結果と一致する。
• $r$-一様ハイパーグラフで最大次数 $d_{\text{max}}$ を持つ場合、アルゴリズムは $\tilde{O}(\delta^{-1}(\sqrt{d_{\text{max}} r^{-1} \log r \cdot \phi^*} + \phi^*))$ の拡張境界を達成する。ここで $\phi^*$ は最適拡張である。
• 小集合頂点拡張問題に対しても $\tilde{O}(\delta^{-1}\sqrt{\log n})$ の近似が得られ、結果が頂点ベースの拡張へと拡張された。
• サイズが $(1+\varepsilon)\delta n$ 未満の集合を、拡張が $O_\varepsilon(\delta^{-1}\log\delta^{-1}\log\log\delta^{-1}\sqrt{\log n}\cdot\phi^*)$ 未満で見つけるアルゴリズムが得られ、固定された $\varepsilon$ および $\delta$ に対して $\tilde{O}(\delta^{-1}\sqrt{\log n})$ に簡略化される。
• 解析では、ランダム射影とハイパーキューブサンプリングに基づく新規なラウンディングスキームを用い、ベクトル距離とノルムの集中性に基づく確率的境界を導出する。
• 一般ハイパーグラフに対しては $O(n\sqrt{\log n\log(1/\delta)})$ の近似しか得られない従来のグラフ還元手法に比べ、直接的なハイパーグラフ手法を提供することで、より優れた結果を得た。