[論文レビュー] Approximation Algorithms for Independence and Domination on B$_1$-VPG and B$_1$-EPG Graphs

Saeed Mehrabi|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、B₁-VPG グラフにおける最大独立集合問題に対して O(log n)-近似アルゴリズムを提示し、1ストリング B₁-VPG グラフにおける最小支配集合問題に対しては初めての定数係数近似アルゴリズムを提供する。また、B₁-EPG グラフにおける最小支配集合問題の APX-難易度を証明し、2つの非自明な部分クラスに対して O(1)-近似アルゴリズムを提供し、分野における未解決の問題を解決する。

ABSTRACT

A graph $G$ is called B$_k$-VPG (resp., B$_k$-EPG), for some constant $k\geq 0$, if it has a string representation on a grid such that each vertex is an orthogonal path with at most $k$ bends and two vertices are adjacent in $G$ if and only if the corresponding strings intersect (resp., the corresponding strings share at least one grid edge). If two adjacent strings of a B$_k$-VPG graph intersect exactly once, then the graph is called a one-string B$_k$-VPG graph. In this paper, we study the Maximum Independent Set and Minimum Dominating Set problems on B$_1$-VPG and B$_1$-EPG graphs. We first give a simple $O(\log n)$-approximation algorithm for the Maximum Independent Set problem on B$_1$-VPG graphs, improving the previous $O((\log n)^2)$-approximation algorithm of Lahiri et al. (COCOA 2015). Then, we consider the Minimum Dominating Set problem. We give an $O(1)$-approximation algorithm for this problem on one-string B$_1$-VPG graphs, providing the first constant-factor approximation algorithm for this problem. Moreover, we show that the Minimum Dominating Set problem is APX-hard on B$_1$-EPG graphs, ruling out the possibility of a PTAS unless P=NP. Finally, we give constant-factor approximation algorithms for this problem on two non-trivial subclasses of B$_1$-EPG graphs. To our knowledge, these are the first results for the Minimum Dominating Set problem on B$_1$-EPG graphs, partially answering a question posed by Epstein et al. (WADS 2013).

研究の動機と目的

• B₁-VPG および B₁-EPG グラフにおける基本的な NP 困難問題—最大独立集合問題および最小支配集合問題—に対して、効率的な近似アルゴリズムを開発すること。
• 特に、B₁-VPG グラフにおける最大独立集合問題の近似比を、従来の O((log n)²) から O(log n) に改善すること。
• 1ストリング B₁-VPG グラフにおける最小支配集合問題に対する初めての定数係数近似アルゴリズムを確立すること。
• B₁-EPG グラフにおける最小支配集合問題の計算複雑性を調査し、APX-難易度を示し、特定の部分クラスに対して近似アルゴリズムを提供すること。
• Epstein らが提起した、B₁-EPG グラフにおける最小支配集合問題の近似アルゴリズムに関する未解決の問題に部分的に答えること。

提案手法

• B₁-VPG グラフにおける最大独立集合問題に対して、パスの全順序を活用し、干渉が最小限の非交差パスを反復的に選択する貪欲近似アルゴリズムを設計する。
• 1ストリング B₁-VPG グラフでは、近隣構造を分析し、最適解の各パスが貪欲解において高々3つのパスを支配できることを証明することで、新しい定数係数近似を達成する。
• B₁-EPG グラフにおける最小支配集合問題の APX-難易度証明は、既知の APX-完全問題への還元を用いて構築され、P=NP でない限り PTAS が存在しないことを示す。
• B₁-EPG グラフの2つの部分クラスに対しては、パスの方向と交差に関する構造的制約を活用し、定数係数近似アルゴリズムを開発する。
• 近似比の上限を求める分析には、幾何的および組合せ的議論（コーナー点の比較、垂直／水平近隣集合など）を用いる。
• 退化したケース（パスが端点でのみ接触する場合）を回避するため、弱い一般位置仮定を用い、明確な交差および隣接の定義を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 B₁-VPG グラフにおける最大独立集合問題に対して、O(1)-近似アルゴリズムを設計可能か、それとも問題は APX-難易度か？
• RQ2 一般の B₁-VPG グラフ（1ストリングに限らない）において、最小支配集合問題に定数係数近似が存在するか？
• RQ3 パスが1種類（たとえば、すべて水平またはすべて垂直）の B₁-EPG グラフに制限した場合、最小支配集合問題の APX-難易度は維持されるか？
• RQ4 一般の B₁-EPG グラフにおける最小支配集合問題に O(1)-近似アルゴリズムを開発可能か？
• RQ5 垂直交差 B₁-EPG グラフ（構造的制約を持つ特定の部分クラス）において、最小支配集合問題は NP 困難か？

主な発見

• B₁-VPG グラフにおける最大独立集合問題に対して、O(log n)-近似アルゴリズムを提示し、従来の O((log n)²) の境界を改善した。
• 1ストリング B₁-VPG グラフにおける最小支配集合問題に対して、初めての定数係数近似アルゴリズムを開発し、近似比が3以下であることを達成した。
• B₁-EPG グラフにおける最小支配集合問題が APX-難易度であることを証明し、P=NP でない限り PTAS が存在しないことを示した。
• B₁-EPG グラフの2つの非自明な部分クラスに対して、それぞれ比2および3の定数係数近似アルゴリズムを提供した。
• 分析により、最適解の各パスが貪欲解において高々3つのパスを支配できることを示し、これが定数係数の境界の根拠となった。
• Epstein らが提起した、B₁-EPG グラフにおける最小支配集合問題の近似アルゴリズムに関する未解決の問題に部分的に答えを提示した。