[論文レビュー] Approximation Algorithms for Submodular Multiway Partition

Chandra Chekuri, Alina Ene|arXiv (Cornell University)|May 10, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、部分的劣微関数のラヴェシュ拡張に基づく凸プログラミング緩和を用いて、部分的劣微マルチウェイ分割（Sub-MP）問題に対するものとして、一般の部分的劣微関数では2-近似、対称的部分的劣微関数では(1.5 - 1/k)-近似を達成し、従来の(k-1)-近似および2(1-1/k)-近似の境界を改善している。この手法は、グラフおよびハイパーグラフのマルチウェイ分割問題に対する既存の緩和を一般化し、改善している。

ABSTRACT

We study algorithms for the Submodular Multiway Partition problem (SubMP). An instance of SubMP consists of a finite ground set $V$, a subset of $k$ elements $S = \{s_1,s_2,...,s_k\}$ called terminals, and a non-negative submodular set function $f:2^V ightarrow \mathbb{R}_+$ on $V$ provided as a value oracle. The goal is to partition $V$ into $k$ sets $A_1,...,A_k$ such that for $1 \le i \le k$, $s_i \in A_i$ and $\sum_{i=1}^k f(A_i)$ is minimized. SubMP generalizes some well-known problems such as the Multiway Cut problem in graphs and hypergraphs, and the Node-weighed Multiway Cut problem in graphs. SubMP for arbitrarysubmodular functions (instead of just symmetric functions) was considered by Zhao, Nagamochi and Ibaraki \cite{ZhaoNI05}. Previous algorithms were based on greedy splitting and divide and conquer strategies. In very recent work \cite{ChekuriE11} we proposed a convex-programming relaxation for SubMP based on the Lovász-extension of a submodular function and showed its applicability for some special cases. In this paper we obtain the following results for arbitrary submodular functions via this relaxation. (i) A 2-approximation for SubMP. This improves the $(k-1)$-approximation from \cite{ZhaoNI05} and (ii) A $(1.5-1/k)$-approximation for SubMP when $f$ is symmetric. This improves the $2(1-1/k)$-approximation from \cite{Queyranne99,ZhaoNI05}.

研究の動機と目的

• 部分的劣微関数のラヴェシュ拡張を用いて、Sub-MPのための凸プログラミング緩和を開発すること。
• 一般Sub-MPのための(k-1)-近似および対称Sub-MPのための2(1-1/k)-近似を改善すること。
• グラフおよびハイパーグラフのマルチウェイ分割問題に対する既存の緩和を一般化し、改善すること。
• 提案された緩和の整数性ギャップを分析し、より緊密な近似境界を確立すること。

提案手法

• 部分的劣微関数のラヴェシュ拡張を用いて、Sub-MPのための凸緩和を定式化すること。
• 分割変数を単位単体内のベクトルとして表現する連続的緩和を定義すること。
• 部分的劣微関数のラヴェシュ拡張が凸的かつ区分線形的であるという性質を用いること。
• 閾値集合上の目的関数の積分表現を導出し、緩和の分析を行うこと。
• 緩和解を閾値化する手法を用いて、離散的分割を回復するラウンディングスキームを適用すること。
• 部分的劣微性およびチェーン則を用いて、連続的関数の積分と離散的目的関数を関連づけ、近似保証を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラヴェシュ拡張に基づく凸プログラミング緩和は、グリーディ分割による(k-1)-近似よりもSub-MPのためのより良い近似を達成できるか？
• RQ2 提案された緩和は、対称的部分的劣微関数のSub-MPに対して(1.5 - 1/k)-近似を達成するか？これは従来の2(1-1/k)の境界を改善するか？
• RQ3 対称的部分的劣微関数のSub-MPに対して、緩和の整数性ギャップは1.5 - 1/k未満に厳密に小さいか？
• RQ4 この緩和は、|S| ≥ k 個の端点を持つより一般的なk-ウェイ-Sub-MP問題に一般化可能か？
• RQ5 この緩和は、グラフMCのCKR緩和の背後にある幾何的構造を捉えているか？

主な発見

• 本稿では、任意の非負部分的劣微関数を対象としたSub-MPに対して2-近似を達成し、従来の(k-1)-近似を改善している。
• 対称的部分的劣微関数の場合、(1.5 - 1/k)-近似を達成しており、先行研究の2(1-1/k)の境界を改善している。
• 提案された凸緩和は、グラフMCのCKR緩和を一般化しており、特殊ケースとしてそれを回復している。
• 一般Sub-MPの緩和の整数性ギャップは2未満、対称Sub-MPの場合は(1.5 - 1/k)未満で有界である。
• 分析は、部分的劣微関数の積分表現および閾値化技術に依存しており、連続的緩和と離散的解との関係を確立している。
• 結果から、カット関数の部分的劣微性が定数因子近似を可能にする主要な構造的性質であることが示唆され、グラフ固有の幾何的性質ではない。